Encontre valores máximo e mínimo absolutos da função
sobre a região triangular no primeiro quadrante limitada pelas linhas
e
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos da função
no triângulo do primeiro quadrante limitado por
,
e
. Para resolver, vamos:
- Encontrar pontos críticos no interior do triângulo resolvendo
. - Analisar os extremos nas três arestas do triângulo usando funções de uma variável.
- Comparar os valores obtidos para achar máximo e mínimo absolutos.
Passo 2
No interior, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Daí vem
Como
satisfaz
,
e
, está no triângulo. Avaliando:
Passo 3
Na aresta
com
, definimos
Derivando e igualando a zero:
Avaliações:
Passo 4
Na aresta
com
, definimos
Derivando e igualando a zero:
Avaliações:
Passo 5
Na aresta
com
, definimos
Derivando e igualando a zero:
Avaliações:
Passo 6
Reunindo os valores obtidos:
O maior valor é
em
e o menor é
em
.
Resposta
Máximo absoluto:
.
Mínimo absoluto: .
Mínimo absoluto: