Encontre valores máximo e mínimo absolutos da função f(x, y)=2+2 x+4 y-x^{2}-y^{2} sobre a região triangular no primeiro quadrante limitada pelas linhas x=0, y=0 e y=9-x.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos da função
f(x,y)=2+2x+4y - x^2 - y^2
no triângulo do primeiro quadrante limitado por x=0, y=0 e y=9-x. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar pontos críticos no interior do triângulo resolvendo \nabla f=0.
  2. Analisar os extremos nas três arestas do triângulo usando funções de uma variável.
  3. Comparar os valores obtidos para achar máximo e mínimo absolutos.

Passo 2

No interior, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
f_x = 2 - 2x = 0,\quad f_y = 4 - 2y = 0.
Daí vem
x = 1,\quad y = 2.
Como (1,2) satisfaz 1\ge0, 2\ge0 e 2\le9-1=8, está no triângulo. Avaliando:
f(1,2)=2+2\cdot1+4\cdot2 -1^2-2^2 =2+2+8 -1-4 =7.

Passo 3

Na aresta x=0 com 0\le y\le9, definimos
g(y)=f(0,y)=2+4y - y^2.
Derivando e igualando a zero:
g'(y)=4 - 2y = 0 \;\Rightarrow\; y=2.
Avaliações:
g(2)=2+8-4=6,\quad g(0)=2,\quad g(9)=2+36-81=-43.

Passo 4

Na aresta y=0 com 0\le x\le9, definimos
h(x)=f(x,0)=2+2x - x^2.
Derivando e igualando a zero:
h'(x)=2 - 2x = 0 \;\Rightarrow\; x=1.
Avaliações:
h(1)=2+2-1=3,\quad h(0)=2,\quad h(9)=2+18-81=-61.

Passo 5

Na aresta y=9-x com 0\le x\le9, definimos
k(x)=f\bigl(x,9-x\bigr) =-2x^2+16x-43.
Derivando e igualando a zero:
k'(x)=-4x+16=0 \;\Rightarrow\; x=4,\quad y=9-4=5.
Avaliações:
k(4)=-2\cdot16+64-43=-11,\quad k(0)=-43,\quad k(9)=-61.

Passo 6

Reunindo os valores obtidos:
\begin{aligned} &(1,2)\colon f=7,\\\ &(0,2)\colon f=6,\\\ &(1,0)\colon f=3,\\\ &(4,5)\colon f=-11,\\\ &(0,9)\colon f=-43,\\\ &(9,0)\colon f=-61. \end{aligned}
O maior valor é 7 em (1,2) e o menor é -61 em (9,0).

Resposta

Máximo absoluto: f(1,2)=7.
Mínimo absoluto: f(9,0)=-61.

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