Encontre os pontos críticos das funções abaixo e, usando o teste conveniente(Teste da Primeira ou da Segunda derivada), classifique-os com ponto de Máximo local, Mínimo local ou nenhun dos dois.
f(x)=x^4-2 x^2+3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x)=x^4-2x^2+3 e, usando um teste de derivadas, classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas e aplicação do teste da segunda derivada.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira de f:
f'(x)=ddx(x^4-2x^2+3)=4x^3-4x

Passo 3

Os pontos críticos são soluções de f'(x)=0, isto é,
4x^3-4x=4x(x^2-1)=0
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x=0, x=1, x=-1

Passo 4

Para classificar usamos o teste da segunda derivada. Primeiro achamos
f''(x)=ddx(4x^3-4x)=12x^2-4

Passo 5

Avaliamos f'' em cada ponto crítico:
  • Em x=0: f''(0)=12cdot0^2-4=-4<0, concavidade para baixo Rightarrow ponto de máximo local.
  • Em x=1 e x=-1: f''(pm1)=12cdot1^2-4=8>0, concavidade para cima Rightarrow pontos de mínimo local.

Passo 6

Para cada ponto crítico também calculamos o valor de f:
f(0)=0^4-2cdot0^2+3=3, f(pm1)=1^4-2cdot1^2+3=2

Resposta

(0,3) ponto de máximo local
(1,2) ponto de mínimo local
(-1,2) ponto de mínimo local

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