Encontre os pontos críticos das funções abaixo e, usando o teste conveniente(Teste da Primeira ou da Segunda derivada), classifique-os com ponto de Máximo local, Mínimo local ou nenhun dos dois.
f(x)=1+x^21-x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função
f(x)=1+x^21-x^2
e classificá-los como máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois. O conteúdo necessário é derivação de quociente, resolução de f'(x)=0 e aplicação do teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio e a derivada de f. O denominador não pode ser zero, logo
xneq pm1,
e o domínio é (-infty,-1)cup(-1,1)cup(1,infty). Usando a regra do quociente,
f'(x) =(2x)(1-x^2)-(1+x^2)(-2x)(1-x^2)^2 =2x-2x^3+2x+2x^3(1-x^2)^2 =4x(1-x^2)^2

Passo 3

Os pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe dentro do domínio. Temos
f'(x)=0iff 4x=0iff x=0,
e f'(x) só falha de existir em x=pm1, que não pertencem ao domínio. Portanto o único ponto crítico é x=0.

Passo 4

Para classificar, calculamos a segunda derivada. Diferenciando
f'(x)=4x,(1-x^2)^-2
por produto e cadeia, chega-se a
f''(x) =4,(1-x^2)^-2 +4xcdotl(-2r)(1-x^2)^-3cdot(-2x) =4(1+3x^2)(1-x^2)^3

Passo 5

Avalia-mos f'' em x=0:
f''(0) =4,(1+0)(1-0)^3 =4>0
Como f''(0)>0, x=0 é ponto de mínimo local. Não há outros pontos críticos.

Resposta

O único ponto crítico é x=0, e nesse ponto f tem um mínimo local.

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