Encontre os pontos críticos das funções abaixo e, usando o teste conveniente(Teste da Primeira ou da Segunda derivada), classifique-os com ponto de Máximo local, Mínimo local ou nenhun dos dois.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função
e classificá-los como máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois. O conteúdo necessário é derivação de quociente, resolução de
e aplicação do teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro determinamos o domínio e a derivada de
. O denominador não pode ser zero, logo
e o domínio é
. Usando a regra do quociente,
Passo 3
Os pontos críticos são onde
ou
não existe dentro do domínio. Temos
e
só falha de existir em
, que não pertencem ao domínio. Portanto o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar, calculamos a segunda derivada. Diferenciando
por produto e cadeia, chega-se a
por produto e cadeia, chega-se a
Passo 5
Avalia-mos
em
:
Como
,
é ponto de mínimo local. Não há outros pontos críticos.
Resposta
O único ponto crítico é
, e nesse ponto
tem um mínimo local.