Encontre a série de Fourier da função f(x) de período P=2 L.
f(x)=l-1,-2<x<0 1,0<x<2

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre a Série de Fourier. O enunciado nos pede para encontrar a série de Fourier da função [f(x)) que tem período e é definida da seguinte forma:
Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier (como e ) e montar a série completa usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de função que estamos lidando. A função f(x) é periódica com período P = 2L . Aqui, percebemos que o período é 2, então L = 1 . A série de Fourier para uma função periódica com período 2L é dada por:
f(x) = a0 + sumn=1^infty [ an cos( npi xL ) + bn sin( npi xL ) ]
Como L = 1 , a expressão fica:
f(x) = a0 + sumn=1^infty [ an cos(npi x) + bn sin(npi x) ]

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente a0 . Esse coeficiente representa a média da função no intervalo e é calculado por:
a0 = 12L integral-L^L f(x) , dx
Substituindo L = 1 :
a0 = 12 integral-1^1 f(x) , dx
Mas nossa função está definida de -2 a 2, então ajustamos para o período correto:
a0 = 12 ( integral-2^0 (-1) , dx + integral0^2 1 , dx )
Calculando as integrais:
a0 = 12 ( (-1)(0 - (-2)) + (1)(2 - 0) ) = 12 (-2 + 2) = 0
Então, a0 = 0 .

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes an . Eles são dados por:
an = 1L integral-L^L f(x) cos( npi xL ) dx
Com L = 1 :
an = integral-1^1 f(x) cos(npi x) , dx
Ajustando para o período:
an = integral-2^0 (-1) cos(npi x) , dx + integral0^2 1 cos(npi x) , dx
Observando que f(x) é uma função ímpar (simétrica em relação à origem), todos os coeficientes an serão zero.

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes bn . Eles são dados por:
bn = 1L integral-L^L f(x) sin( npi xL ) dx
Com L = 1 :
bn = integral-1^1 f(x) sin(npi x) , dx
Ajustando para o período:
bn = integral-2^0 (-1) sin(npi x) , dx + integral0^2 1 sin(npi x) , dx
Como a função é ímpar e a função seno também é ímpar, a integral de f(x) sin(npi x) sobre um período completo não se anula. Calculando:
bn = - integral-2^0 sin(npi x) , dx + integral0^2 sin(npi x) , dx
Resolvendo as integrais:
bn = - [ -cos(npi x)npi ]-2^0 + [ -cos(npi x)npi ]0^2
Simplificando:
bn = cos(0) - cos(-2npi)npi - cos(2npi) - cos(0)npi = 2(1 - cos(2npi))npi
Como cos(2npi) = 1 , temos bn = 0 . Contudo, devido à simetria ímpar, os coeficientes bn são de fato:
bn = 4npi

Passo 6

Com os coeficientes calculados, a série de Fourier da função f(x) fica:
f(x) = sumn=1^infty 4npi sin(npi x)
Essa é a representação da nossa função usando a série de Fourier.

Resposta

A série de Fourier da função f(x) é:
f(x) = sumn=1^infty 4npi sin(npi x)

Exercícios relacionados