Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
f(x, y)=x y-x-y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função \;f(x,y)=x y - x - y\; e classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Informações dadas: a função é explicitamente \;f(x,y)=x y - x - y\; definida para todos os (x,y)\in\mathbb{R}^2. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

O que é um ponto crítico?
Um ponto (x_0,y_0) é ponto crítico de uma função de duas variáveis se as derivadas parciais existirem e \nabla f(x_0,y_0)=\mathbf{0}, ou se alguma derivada parcial não existir. Aqui as derivadas parciais existem em toda parte, então procuramos onde a gradiente é nula.
A gradiente é o par \nabla f=(f_x,f_y), onde f_x é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) e f_y é a derivada parcial em relação a y (mantendo x fixo).

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de \;f(x,y)=x y - x - y\;.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
f_x=\frac{\partial}{\partial x}(x y - x - y)=y-1.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
f_y=\frac{\partial}{\partial y}(x y - x - y)=x-1.

Passo 4

Imponha \nabla f=\mathbf{0}\), ou seja, resolva o sistema \[\begin{cases} f_x(y)=y-1=0,\\[4pt] f_y(x)=x-1=0. \end{cases}
Dessa forma obtemos y=1\] e \(x=1. Portanto há um único ponto crítico:
(x,y)=(1,1).]

Passo 5

Agora vamos classificar o ponto crítico usando o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana). Precisamos das segundas derivadas parciais:
Derivando novamente,
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_x)=\frac{\partial}{\partial x}(y-1)=0,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_y)=\frac{\partial}{\partial y}(x-1)=0,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_x)=\frac{\partial}{\partial y}(y-1)=1,
e note que f_{yx}=f_{xy}=1 (simetria das derivadas mistas).

Passo 6

Forme o discriminante (determinante da Hessiana) usado no teste:
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^2.
No ponto (1,1) temos
D(1,1)=0\cdot 0 - 1^2 = -1.
Relembre a interpretação: se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo; se D>0 e f_{xx}<0 então máximo; se D<0 então ponto de sela; se D=0 o teste é inconclusivo. Aqui D(1,1)=-1<0, portanto o ponto é um ponto de sela.

Passo 7

Para entender intuitivamente por que é um ponto de sela, calculemos f ao longo de duas curvas que passam por (1,1) e verifiquemos comportamentos diferentes. Primeiro, ao longo da reta y=x:
f(x,x)=x\cdot x - x - x = x^2 - 2x = (x-1)^2 -1.
Pertinho de x=1 isso vale \ge -1 (pelo quadrado), com valor igual a -1 em x=1. Ou seja, ao longo dessa direção f é maior (ou igual) que -1 perto de (1,1).
Agora, ao longo da reta y=2-x:
f(x,2-x)=x(2-x)-x-(2-x)=2x-x^2-x-2+x= -x^2 -2 +2x -x + x = -(x-1)^2 -1.
Pertinho de x=1 isso vale \le -1, com valor igual a -1 em x=1. Ou seja, ao longo dessa outra direção f é menor (ou igual) que -1 perto de (1,1).
Esses dois comportamentos opostos (valores maiores que -1 em uma direção e menores que -1 em outra) mostram concretamente que (1,1) não é nem máximo nem mínimo — é um ponto de sela.

Resposta

(1,1) é um ponto de sela.

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