Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Informações dadas: a função é explicitamente definida para todos os
. Não há outras restrições no enunciado.
Informações dadas: a função é explicitamente
Passo 2
O que é um ponto crítico?
Um ponto é ponto crítico de uma função de duas variáveis se as derivadas parciais existirem e
, ou se alguma derivada parcial não existir. Aqui as derivadas parciais existem em toda parte, então procuramos onde a gradiente é nula.
A gradiente é o par , onde
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo) e
é a derivada parcial em relação a
(mantendo
fixo).
Um ponto
A gradiente é o par
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a (tratando
como constante):
Derivando em relação a
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Passo 4
Imponha
Dessa forma obtemos
. Portanto há um único ponto crítico:
Passo 5
Agora vamos classificar o ponto crítico usando o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana). Precisamos das segundas derivadas parciais:
Derivando novamente,
Derivando novamente,
e note que
(simetria das derivadas mistas).
Passo 6
Forme o discriminante (determinante da Hessiana) usado no teste:
No ponto
temos
Relembre a interpretação: se
e
então mínimo; se
e
então máximo; se
então ponto de sela; se
o teste é inconclusivo. Aqui
, portanto o ponto é um ponto de sela.
Passo 7
Para entender intuitivamente por que é um ponto de sela, calculemos
ao longo de duas curvas que passam por
e verifiquemos comportamentos diferentes. Primeiro, ao longo da reta
:
Pertinho de
isso vale
(pelo quadrado), com valor igual a
em
. Ou seja, ao longo dessa direção
é maior (ou igual) que
perto de
.
Agora, ao longo da reta
:
Pertinho de
isso vale
, com valor igual a
em
. Ou seja, ao longo dessa outra direção
é menor (ou igual) que
perto de
.
Esses dois comportamentos opostos (valores maiores que
em uma direção e menores que
em outra) mostram concretamente que
não é nem máximo nem mínimo — é um ponto de sela.