Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. A função dada é
Informações relevantes que temos no enunciado:
- A expressão explícita de
. - Pontos críticos são os pontos onde o gradiente de
é o vetor nulo ou onde as derivadas parciais não existem (aqui as derivadas existem em todo lugar).
Nada mais será assumido — vamos achar ondee depois usar o teste das segundas derivadas para classificar o ponto.
Passo 2
O que é preciso calcular primeiro? O gradiente de
, isto é, as derivadas parciais em relação a
e a
.
Definição curta e intuitiva: o gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais de
. Ele aponta, localmente, na direção do maior crescimento de
. Pontos críticos ocorrem onde esse vetor é
.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, derivando em
(tratando
como constante):
Agora em
:
Derivando em
(tratando
como constante):
Passo 3
Agora achamos os pontos críticos resolvendo o sistema
Substituindo as expressões que encontramos:
Resolvendo cada equação:
Logo existe um único ponto crítico:
Passo 4
Para classificar o ponto crítico usamos o teste das segundas derivadas (teste do Hessiano).
Primeiro calculamos as segundas derivadas:
O Hessiano é a matriz
Passo 5
O determinante auxiliar usado no teste das segundas derivadas é
Substituindo os valores:
Agora a regra do teste:
- Se
e então é mínimo relativo. - Se
e então é máximo relativo. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Aqui temos
e
. Pelas regras acima, o ponto crítico é um máximo relativo.
Passo 6
Um comentário extra (útil para prova): podemos completar o quadrado para ver a forma da função e confirmar que o máximo é, na verdade, global. Fazer isso também dá o valor máximo de
.
Reescrevendo:
Somando tudo:
Os termos constantes
se combinam para
. Assim:
Essa forma mostra claramente que
atinge o maior valor quando os quadrados são zero, ou seja em
, e que para qualquer outro ponto esses quadrados são positivos e fazem
menor. Portanto o máximo é global e o valor máximo é
.
Resposta
Ponto crítico:
— máximo relativo (e máximo global); valor máximo
.