Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
f(x, y)=-x^{2}-4 x-y^{2}+2 y-1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. A função dada é
f(x,y) = -x^{2} - 4x - y^{2} + 2y - 1.
Informações relevantes que temos no enunciado:
  • A expressão explícita de f(x,y).
  • Pontos críticos são os pontos onde o gradiente de f é o vetor nulo ou onde as derivadas parciais não existem (aqui as derivadas existem em todo lugar).
    Nada mais será assumido — vamos achar onde \nabla f=(0,0) e depois usar o teste das segundas derivadas para classificar o ponto.

Passo 2

O que é preciso calcular primeiro? O gradiente de f, isto é, as derivadas parciais em relação a x e a y.
Definição curta e intuitiva: o gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Ele aponta, localmente, na direção do maior crescimento de f. Pontos críticos ocorrem onde esse vetor é (0,0).
Vamos calcular as derivadas parciais:
\text{A derivada parcial em relação a }x\text{ é }\quad f_x=\frac{\partial f}{\partial x}.çãé
Como f(x,y)=-x^{2}-4x-y^{2}+2y-1, derivando em x (tratando y como constante):
f_x = -2x - 4.
Agora em y:
\text{A derivada parcial em relação a }y\text{ é }\quad f_y=\frac{\partial f}{\partial y}.çãé
Derivando em y (tratando x como constante):
f_y = -2y + 2.

Passo 3

Agora achamos os pontos críticos resolvendo o sistema
\begin{cases} f_x(x,y)=0,\\[4pt] f_y(x,y)=0. \end{cases}
Substituindo as expressões que encontramos:
\begin{cases} -2x - 4 = 0,\\[4pt] -2y + 2 = 0. \end{cases}
Resolvendo cada equação:
-2x - 4 = 0 \Rightarrow -2x = 4 \Rightarrow x = -2,
-2y + 2 = 0 \Rightarrow -2y = -2 \Rightarrow y = 1.
Logo existe um único ponto crítico:
(x,y)=(-2,\,1).]

Passo 4

Para classificar o ponto crítico usamos o teste das segundas derivadas (teste do Hessiano).
Primeiro calculamos as segundas derivadas:
f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2,
f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2,
f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = 0.
O Hessiano é a matriz
H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\[4pt] 0 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

O determinante auxiliar usado no teste das segundas derivadas é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
Substituindo os valores:
D = (-2)\cdot(-2) - 0^{2} = 4.
Agora a regra do teste:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo relativo.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo relativo.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Aqui temos D=4>0 e f_{xx}=-2<0. Pelas regras acima, o ponto crítico é um máximo relativo.

Passo 6

Um comentário extra (útil para prova): podemos completar o quadrado para ver a forma da função e confirmar que o máximo é, na verdade, global. Fazer isso também dá o valor máximo de f.
Reescrevendo:
-x^{2}-4x = -\big(x^{2}+4x\big) = -\big((x+2)^{2}-4\big) = -(x+2)^{2}+4,
-y^{2}+2y = -\big(y^{2}-2y\big) = -\big((y-1)^{2}-1\big) = -(y-1)^{2}+1.
Somando tudo:
f(x,y) = \big(-(x+2)^{2}+4\big) + \big(-(y-1)^{2}+1\big) -1.
Os termos constantes 4+1-1 se combinam para 4. Assim:
f(x,y) = -(x+2)^{2} - (y-1)^{2} + 4.
Essa forma mostra claramente que f atinge o maior valor quando os quadrados são zero, ou seja em (x,y)=(-2,1), e que para qualquer outro ponto esses quadrados são positivos e fazem f menor. Portanto o máximo é global e o valor máximo é 4.

Resposta

Ponto crítico: (-2,\,1) — máximo relativo (e máximo global); valor máximo 4.

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