Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que encontremos os pontos críticos e os classifiquemos como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Informações importantes fornecidas:
- A função é
. - Queremos todos os pontos
onde o gradiente de é nulo (pontos críticos). - Para cada ponto crítico, devemos determinar se é máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 2
O que é um ponto crítico (explicação didática)?
- Um ponto
é ponto crítico quando as derivadas parciais primeiras de em relação a e são zero nesse ponto. Isso significa que o vetor gradiente é o vetor nulo:
- Vamos calcular as derivadas parciais primeiras de maneira direta, passo a passo.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais primeiras (passo a passo):
- Para
: trate como constante e derive em relação a . A derivada de em relação a é (porque é constante e a derivada de é ). A derivada de é . A derivada de em relação a é . Logo, - Para
: trate como constante e derive em relação a . porque a derivada de em relação a é , a derivada de é e a de é .
Passo 4
Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema
- Resolva a segunda equação primeiro:
é
. - Substitua
na primeira equação: . Como , temos - Portanto há exatamente um ponto crítico real:
.]
Passo 5
Como classificar o ponto crítico? (aula rápida sobre o teste das segundas derivadas)
- Para funções de duas variáveis, calculamos as segundas derivadas:
- Definimos o discriminante (determinante hessiano) em um ponto
por - Critério de classificação:
- Se
e então mínimo relativo. - Se
e então máximo relativo. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
- Vamos calcular as segundas derivadas para a nossa função.
Passo 6
Cálculo das segundas derivadas:
- Já temos
e . - Derive
em relação a para obter : pois é tratado como constante aqui. - Derive
em relação a para obter : porque não há em . - Derive
em relação a para obter : (Nota: por continuidade das derivadas mistas, .)
Passo 7
Avaliação do discriminante no ponto crítico
:
- Primeiro calcule
, e :
- Agora o discriminante:
Assim .
Passo 8
Interpretação final do resultado:
- Como
, pelo critério das segundas derivadas, o ponto crítico é um ponto de sela. - Intuitivamente: em direções diferentes a função cresce e decresce, então não é nem máximo nem mínimo local.