Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
f(x, y)=x^{3} y+3 x+y

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=x^{3}y+3x+y e pede que encontremos os pontos críticos e os classifiquemos como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Informações importantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x^{3}y+3x+y.
  • Queremos todos os pontos (x,y) onde o gradiente de f é nulo (pontos críticos).
  • Para cada ponto crítico, devemos determinar se é máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.

Passo 2

O que é um ponto crítico (explicação didática)?
  • Um ponto (x_0,y_0) é ponto crítico quando as derivadas parciais primeiras de f em relação a x e y são zero nesse ponto. Isso significa que o vetor gradiente é o vetor nulo:
\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y}\right) = (0,0).
  • Vamos calcular as derivadas parciais primeiras de maneira direta, passo a passo.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais primeiras (passo a passo):
  • Para \frac{\partial f}{\partial x}: trate y como constante e derive em relação a x. f(x,y)=x^{3}y+3x+y.A derivada de x^{3}y em relação a x é 3x^{2}y (porque y é constante e a derivada de x^{3} é 3x^{2}). A derivada de 3x é 3. A derivada de y em relação a x é 0. Logo, \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}y+3.
  • Para \frac{\partial f}{\partial y}: trate x como constante e derive em relação a y. \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{3}+1,porque a derivada de x^{3}y em relação a y é x^{3}, a derivada de 3x é 0 e a de y é 1.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema \nabla f=(0,0)\): - O sistema é \[\begin{cases} 3x^{2}y+3=0,\\[4pt] x^{3}+1=0. \end{cases}
  • Resolva a segunda equação primeiro: x^{3}+1=0\] implica \[x^{3}=-1 \quad\Rightarrow\quad x=-1,\] pois estamos em números reais e a raiz cúbica de \(-1 é -1.
  • Substitua x=-1 na primeira equação: 3x^{2}y+3=0. Como x^{2}=(-1)^{2}=1, temos 3\cdot 1\cdot y + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3y+3=0 \quad\Rightarrow\quad y=-1.
  • Portanto há exatamente um ponto crítico real: (x,y)=(-1,-1).]

Passo 5

Como classificar o ponto crítico? (aula rápida sobre o teste das segundas derivadas)
  • Para funções de duas variáveis, calculamos as segundas derivadas: f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
  • Definimos o discriminante (determinante hessiano) em um ponto (x_0,y_0) por D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)\,f_{yy}(x_0,y_0)-\bigl(f_{xy}(x_0,y_0)\bigr)^{2}.
  • Critério de classificação:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo relativo.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo relativo.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
  • Vamos calcular as segundas derivadas para a nossa função.

Passo 6

Cálculo das segundas derivadas:
  • Já temos f_{x}=3x^{2}y+3 e f_{y}=x^{3}+1.
  • Derive f_{x} em relação a x para obter f_{xx}: f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y+3)=6xy,pois y é tratado como constante aqui.
  • Derive f_{y} em relação a y para obter f_{yy}: f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}+1)=0,porque não há y em x^{3}+1.
  • Derive f_{x} em relação a y para obter f_{xy}: f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}y+3)=3x^{2}.(Nota: por continuidade das derivadas mistas, f_{xy}=f_{yx}.)

Passo 7

Avaliação do discriminante no ponto crítico (-1,-1):
  • Primeiro calcule f_{xx}(-1,-1), f_{yy}(-1,-1) e f_{xy}(-1,-1): f_{xx}(-1,-1)=6\cdot(-1)\cdot(-1)=6,
f_{yy}(-1,-1)=0,
f_{xy}(-1,-1)=3\cdot(-1)^{2}=3.
  • Agora o discriminante: D(-1,-1)=f_{xx}(-1,-1)\,f_{yy}(-1,-1)-\bigl(f_{xy}(-1,-1)\bigr)^{2}=6\cdot 0 - 3^{2} = -9.Assim D(-1,-1)=-9<0.

Passo 8

Interpretação final do resultado:
  • Como D(-1,-1)<0, pelo critério das segundas derivadas, o ponto crítico (-1,-1) é um ponto de sela.
  • Intuitivamente: em direções diferentes a função cresce e decresce, então não é nem máximo nem mínimo local.

Resposta

(-1,-1): ponto de sela

Exercícios relacionados