Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre os pontos críticos da função
e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.”
Informações dadas:
- A função é
. - Precisamos obter todos os pontos críticos
onde o gradiente de é zero e, para cada ponto crítico, determinar a natureza (máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela).
Observação: vamos usar derivadas parciais, resolver o sistema
e aplicar o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana) para classificar cada ponto.
Passo 2
Definição prática (explicando a ideia): um ponto crítico ocorre quando as derivadas parciais de
em relação a
e a
são ambas zero. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Vamos calcular essas derivadas parciais explicitamente.
Passo 3
Calculemos
. Pegue a função
. Diferenciando em relação a
, tratando
como constante:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (porque não depende de ). - A derivada de
em relação a é (produto com constante). - A derivada de
é .
Portanto,
Passo 4
Calculemos
. Diferenciando
em relação a
, tratando
como constante:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é . - A derivada de
é (pois é vezes a derivada de ). - A derivada de
é .
Assim,
Passo 5
Agora escrevemos o sistema
, ou seja:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da primeira equação obtemos
Da segunda equação temos duas possibilidades (produto igual a zero):
Trataremos cada caso.]
Passo 6
Caso A:
. Substituindo em
dá
Logo um ponto crítico é
.
Caso B:
. Substituindo em
dá
Logo obtemos os pontos críticos
e
.
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 7
Para classificar os pontos, usamos as derivadas segundas e o determinante do Hessiano. Primeiro calculemos as segundas derivadas:
-
Aqui é a derivada segunda parcial em relação a . -
Aqui é a derivada segunda parcial em relação a . -
E por teoremas de igualdade das derivadas mistas neste caso.
A matriz Hessiana é
Passo 8
Definição do teste das segundas derivadas (explicando): para funções de duas variáveis, no ponto crítico
calculamos o discriminante
Interpretação:
- Se
e então é mínimo relativo. - Se
e então é máximo relativo. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Vamos calcular
em cada ponto crítico. A fórmula explícita aqui é (substituindo as expressões):
Passo 9
Avaliação em
:
Além disso
. Pelo teste,
é um mínimo relativo.
Passo 10
Avaliação em
:
Como
,
é um ponto de sela.
Passo 11
Avaliação em
:
Assim
também é um ponto de sela.
Passo 12
Resumo final: listamos os pontos críticos e suas classificações (já justificadas pelos cálculos acima).