Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}-x y^{2}-2

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre os pontos críticos da função f(x,y)=2x^{2}+y^{2}-x y^{2}-2 e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.”
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle f(x,y)=2x^{2}+y^{2}-x y^{2}-2.
  • Precisamos obter todos os pontos críticos (x,y) onde o gradiente de f é zero e, para cada ponto crítico, determinar a natureza (máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela).
Observação: vamos usar derivadas parciais, resolver o sistema \nabla f=\mathbf{0} e aplicar o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana) para classificar cada ponto.

Passo 2

Definição prática (explicando a ideia): um ponto crítico ocorre quando as derivadas parciais de f em relação a x e a y são ambas zero. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Vamos calcular essas derivadas parciais explicitamente.

Passo 3

Calculemos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Pegue a função \displaystyle f(x,y)=2x^{2}+y^{2}-x y^{2}-2. Diferenciando em relação a x, tratando y como constante:
  • A derivada de \displaystyle 2x^{2} em relação a x é \displaystyle 4x.
  • A derivada de \displaystyle y^{2} em relação a x é \displaystyle 0 (porque não depende de x).
  • A derivada de \displaystyle -x y^{2} em relação a x é \displaystyle -y^{2} (produto com y^{2} constante).
  • A derivada de -2 é 0.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4x-y^{2}.

Passo 4

Calculemos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. Diferenciando \displaystyle f em relação a y, tratando x como constante:
  • A derivada de \displaystyle 2x^{2} em relação a y é 0.
  • A derivada de \displaystyle y^{2} é \displaystyle 2y.
  • A derivada de \displaystyle -x y^{2} é \displaystyle -2x y (pois é -x vezes a derivada de y^{2}).
  • A derivada de -2 é 0.
Assim,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y-2xy=2y(1-x).

Passo 5

Agora escrevemos o sistema \nabla f(x,y)=\mathbf{0}, ou seja:
\begin{cases} 4x-y^{2}=0,\\[4pt] 2y(1-x)=0. \end{cases}
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da primeira equação obtemos
4x-y^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{y^{2}}{4}.
Da segunda equação temos duas possibilidades (produto igual a zero):
2y(1-x)=0\quad\Rightarrow\quad y=0\quad\text{ou}\quad x=1.
Trataremos cada caso.]

Passo 6

Caso A: y=0. Substituindo em x=\dfrac{y^{2}}{4}
x=\frac{0^{2}}{4}=0.
Logo um ponto crítico é \displaystyle (0,0).
Caso B: x=1. Substituindo em x=\dfrac{y^{2}}{4}
1=\frac{y^{2}}{4}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=4\quad\Rightarrow\quad y=\pm 2.
Logo obtemos os pontos críticos \displaystyle (1,2) e \displaystyle (1,-2).
Portanto, os pontos críticos são \displaystyle (0,0),\,(1,2) e (1,-2).

Passo 7

Para classificar os pontos, usamos as derivadas segundas e o determinante do Hessiano. Primeiro calculemos as segundas derivadas:
  • \displaystyle f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(4x-y^{2})=4. Aqui f_{xx} é a derivada segunda parcial em relação a x.
  • \displaystyle f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2y-2xy)=2-2x. Aqui f_{yy} é a derivada segunda parcial em relação a y.
  • \displaystyle f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(4x-y^{2})=-2y. E f_{yx}=f_{xy} por teoremas de igualdade das derivadas mistas neste caso.
A matriz Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & -2y\\[4pt]-2y & 2-2x\end{pmatrix}.]

Passo 8

Definição do teste das segundas derivadas (explicando): para funções de duas variáveis, no ponto crítico (x_{0},y_{0}) calculamos o discriminante
D(x_{0},y_{0})=f_{xx}(x_{0},y_{0})\,f_{yy}(x_{0},y_{0})-\big(f_{xy}(x_{0},y_{0})\big)^{2}.
Interpretação:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então (x_{0},y_{0}) é mínimo relativo.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo relativo.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vamos calcular D em cada ponto crítico. A fórmula explícita aqui é (substituindo as expressões):
D(x,y)=4\,(2-2x)-(-2y)^{2}=8-8x-4y^{2}.

Passo 9

Avaliação em (0,0):
D(0,0)=8-8\cdot 0-4\cdot 0^{2}=8>0.
Além disso f_{xx}(0,0)=4>0. Pelo teste, (0,0) é um mínimo relativo.

Passo 10

Avaliação em (1,2):
D(1,2)=8-8\cdot 1-4\cdot 2^{2}=8-8-16=-16<0.
Como D<0, (1,2) é um ponto de sela.

Passo 11

Avaliação em (1,-2):
D(1,-2)=8-8\cdot 1-4\cdot (-2)^{2}=8-8-16=-16<0.
Assim (1,-2) também é um ponto de sela.

Passo 12

Resumo final: listamos os pontos críticos e suas classificações (já justificadas pelos cálculos acima).

Resposta

(0,0) — mínimo relativo.
(1,2) — ponto de sela.
(1,-2) — ponto de sela.

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