Encontre os pontos críticos das funções a seguir:
f(x)=(x-1)^{3}(x+2)^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=(x-1)^{3}(x+2)^{2}
e pede que eu encontre os pontos críticos. Ou seja, preciso listar os valores de x onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe, e, se possível, comentar a natureza desses pontos (mínimo, máximo ou outro).
Informações úteis fornecidas:
  • A função é um polinômio (produto de potências de binômios).
  • Não há restrição de domínio explícita, logo o domínio é todo \mathbb{R}.

Passo 2

O que é um ponto crítico?
  • Um ponto x é crítico se f'(x)=0 ou se f'(x) não existe.
    Como f é polinomial, f' existe para todo x\in\mathbb{R}. Portanto os pontos críticos serão exatamente as raízes de f'(x).
Antes de resolver, lembro duas regras básicas que vou usar:
  • Regra da potência: a derivada de (x-a)^n é n(x-a)^{n-1}.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, (uv)'=u'v+uv'.

Passo 3

Vou calcular f'(x) aplicando a regra do produto a u(x)=(x-1)^3 e v(x)=(x+2)^2.
Derivadas das partes:
u'(x)=3(x-1)^2,\qquad v'(x)=2(x+2).
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=3(x-1)^2\,(x+2)^2+2(x+2)\,(x-1)^3.

Passo 4

Vou fatorar f'(x) para encontrar as raízes de forma mais clara. Nas duas parcelas há fatores em comum. Observando:
  • Ambas têm (x-1)^2 como fator (a segunda tem (x-1)^3, então sobra um (x-1)^2).
  • Ambas têm (x+2) como fator (a primeira tem (x+2)^2, a segunda tem (x+2)).
Fatorando:
f'(x)=(x-1)^2(x+2)\big[\,3(x+2)+2(x-1)\,\big].
Agora simplifico o colchete:
3(x+2)+2(x-1)=3x+6+2x-2=5x+4.
Portanto
f'(x)=(x-1)^2(x+2)(5x+4).

Passo 5

Agora resolvo f'(x)=0. Como o produto é zero se e somente se algum dos fatores for zero, tenho as equações:
  1. (x-1)^2=0 \Rightarrow x=1.
  2. x+2=0 \Rightarrow x=-2.
  3. 5x+4=0 \Rightarrow x=-\dfrac{4}{5}.
Como f' existe para todo x, não há outros pontos críticos. Logo os pontos críticos em termos de abscissas são x=-2,\;x=-\dfrac{4}{5},\;x=1.

Passo 6

Agora vou analisar a natureza de cada ponto crítico (mínimo, máximo ou ponto de inflexão com tangente horizontal). A maneira prática é observar o sinal de f'(x) em intervalos que contêm cada raiz (tabela de sinais), usando os fatores já obtidos:
f'(x)=(x-1)^2\cdot(x+2)\cdot(5x+4).
Note que (x-1)^2\ge0 é sempre não negativo e nunca muda de sinal (é zero só em x=1). Os fatores lineares mudam de sinal ao atravessarem suas raízes.
Faço um teste de sinais rápido escolhendo pontos em cada intervalo:
  • Para x<-2, por exemplo x=-3:
    (x-1)^2>0,\quad (x+2)<0,\quad (5x+4)=5(-3)+4=-11<0.
    Produto: +\times - \times - = +. Então f'(-3)>0.
  • Entre -2 e -\tfrac{4}{5}, por exemplo x=-1:
    (x-1)^2>0,\quad (x+2)>0,\quad (5x+4)=5(-1)+4=-1<0.
    Produto: +\times + \times - = -. Então f'(-1)<0.
  • Entre -\tfrac{4}{5} e 1, por exemplo x=0:
    (x-1)^2>0,\quad (x+2)>0,\quad (5x+4)=4>0.
    Produto: +\times + \times + = +. Então f'(0)>0.
  • Para x>1, por exemplo x=2:
    (x-1)^2>0,\quad (x+2)>0,\quad (5x+4)=14>0.
    Produto: +\times + \times + = +. Então f'(2)>0.
Agora interpreto as mudanças de sinal:
  • Em x=-2: f' passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) ⇒ f sobe antes e desce depois ⇒ máximo local em x=-2.
  • Em x=-\dfrac{4}{5}: f' passa de negativo para positivo ⇒ mínimo local em x=-\dfrac{4}{5}.
  • Em x=1: como (x-1)^2 tem multiplicidade par, f' não muda de sinal (foi positivo à esquerda e positivo à direita) ⇒ não é máximo nem mínimo local; é um ponto crítico com tangente horizontal (ponto de inflexão horizontal ou ponto de “platô” — aqui mais precisamente é uma estacionária sem mudança de sinal).
Se quiser os valores da função nesses pontos:
f(1)=0,\qquad f(-2)=0,\qquad f\Big(-\dfrac{4}{5}\Big)=\left(-\dfrac{9}{5}\right)^3\!\left(\dfrac{6}{5}\right)^2=-\dfrac{26244}{3125}\approx-8{,}39808.

Resposta

x=-2 é ponto crítico; f(-2)=0; máximo local.
x=-\dfrac{4}{5} é ponto crítico; f\big(-\dfrac{4}{5}\big)=-\dfrac{26244}{3125}; mínimo local.
x=1 é ponto crítico; f(1)=0; ponto estacionário com tangente horizontal (sem máximo nem mínimo).

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