Encontre os pontos críticos das funções a seguir:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu encontre os pontos críticos. Ou seja, preciso listar os valores de
onde
ou onde
não existe, e, se possível, comentar a natureza desses pontos (mínimo, máximo ou outro).
Informações úteis fornecidas:
- A função é um polinômio (produto de potências de binômios).
- Não há restrição de domínio explícita, logo o domínio é todo
.
Passo 2
O que é um ponto crítico?
- Um ponto
é crítico se ou se não existe.
Comoé polinomial, existe para todo . Portanto os pontos críticos serão exatamente as raízes de .
Antes de resolver, lembro duas regras básicas que vou usar:
- Regra da potência: a derivada de
é . - Regra do produto: se
e são diferenciáveis, .
Passo 3
Vou calcular
aplicando a regra do produto a
e
.
Derivadas das partes:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Vou fatorar
para encontrar as raízes de forma mais clara. Nas duas parcelas há fatores em comum. Observando:
- Ambas têm
como fator (a segunda tem , então sobra um ). - Ambas têm
como fator (a primeira tem , a segunda tem ).
Fatorando:
Agora simplifico o colchete:
Portanto
Passo 5
Agora resolvo
. Como o produto é zero se e somente se algum dos fatores for zero, tenho as equações:
-
. -
. -
.
Como
existe para todo
, não há outros pontos críticos. Logo os pontos críticos em termos de abscissas são
.
Passo 6
Agora vou analisar a natureza de cada ponto crítico (mínimo, máximo ou ponto de inflexão com tangente horizontal). A maneira prática é observar o sinal de
em intervalos que contêm cada raiz (tabela de sinais), usando os fatores já obtidos:
Note que
é sempre não negativo e nunca muda de sinal (é zero só em
). Os fatores lineares mudam de sinal ao atravessarem suas raízes.
Faço um teste de sinais rápido escolhendo pontos em cada intervalo:
-
Para
, por exemplo :
Produto:. Então . -
Entre
e , por exemplo :
Produto:. Então . -
Entre
e , por exemplo :
Produto:. Então . -
Para
, por exemplo :
Produto:. Então .
Agora interpreto as mudanças de sinal:
- Em
: passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) ⇒ sobe antes e desce depois ⇒ máximo local em . - Em
: passa de negativo para positivo ⇒ mínimo local em . - Em
: como tem multiplicidade par, não muda de sinal (foi positivo à esquerda e positivo à direita) ⇒ não é máximo nem mínimo local; é um ponto crítico com tangente horizontal (ponto de inflexão horizontal ou ponto de “platô” — aqui mais precisamente é uma estacionária sem mudança de sinal).
Se quiser os valores da função nesses pontos: