Encontre os valores máximo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se existirem:
g(x)=\frac{1}{x} ;[-3,-1].

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=\dfrac{1}{x} e pede para encontrar os valores máximo e mínimo no intervalo [-3,-1].
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é g(x)=\dfrac{1}{x}.
  • O intervalo no qual devemos procurar extremos é [-3,-1].
  • A pergunta: existem máximo e mínimo em [-3,-1]? Se sim, quais são (valores e onde ocorrem)?

Passo 2

Ideia geral (o que vamos fazer): para funções em um intervalo fechado verificamos pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e as extremidades do intervalo; o maior e o menor entre esses valores são, respectivamente, o máximo e o mínimo do intervalo. Antes disso, preciso garantir que a função seja contínua no intervalo para que essa estratégia faça sentido.
Verificação de continuidade e domínio: a função g(x)=\dfrac{1}{x} está definida para todo x tal que x\neq 0. O intervalo [-3,-1] não contém 0, portanto g está bem definida e contínua em todo o intervalo [-3,-1]. Como é contínua em um intervalo fechado e limitado, sabemos que os extremos existem (teorema do valor extremo).

Passo 3

Calcular a derivada e achar pontos críticos (no interior do intervalo (-3,-1)).
Cálculo da derivada: a derivada de g(x)=x^{-1} é
g'(x) = -1\cdot x^{-2} = -\dfrac{1}{x^{2}}.
Significado: pontos críticos são pontos onde g'(x)=0 ou onde g' não existe. Agora verifico esses casos no intervalo (-3,-1).
  • Resolver g'(x)=0:
-\dfrac{1}{x^{2}} = 0
não tem solução, porque \dfrac{1}{x^{2}} é sempre positivo para x\neq 0, então a expressão negativa nunca é zero.
  • Verificar onde g' não existe: g'(x) não existe apenas em x=0, que não pertence ao intervalo [-3,-1].
Conclusão: não há pontos críticos no interior (-3,-1).

Passo 4

Como não há pontos críticos internos, os candidatos a máximos e mínimos são apenas as extremidades do intervalo: x=-3 e x=-1. Vou calcular g nesses pontos.
Cálculo em x=-3:
g(-3)=\dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}.
Cálculo em x=-1:
g(-1)=\dfrac{1}{-1}=-1.
Agora comparar os valores: -1 < -\dfrac{1}{3}. Portanto -\dfrac{1}{3} é o maior valor entre os dois e -1 é o menor.
Também é útil notar a monotonicidade: como g'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}<0 para todo x\neq0, g é estritamente decrescente em todo o intervalo (- \infty,0). O intervalo [-3,-1] está contido em (- \infty,0), então em particular g decresce em [-3,-1]; sendo decrescente, o valor maior ocorre à esquerda ( x=-3) e o menor à direita ( x=-1), coerente com os cálculos.

Passo 5

Conclusão final: o máximo e o mínimo existem e ocorrem nas extremidades do intervalo. (Dica rápida para prova: sempre verifique continuidade no intervalo fechado, calcule derivada, encontre pontos críticos no interior e compare com os valores nas extremidades.)

Resposta

Máximo: \,g(-3)=-\dfrac{1}{3} em x=-3
Mínimo: \,g(-1)=-1 em x=-1

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