Encontre os valores máximo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se existirem:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar os valores máximo e mínimo no intervalo
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O intervalo no qual devemos procurar extremos é
. - A pergunta: existem máximo e mínimo em
? Se sim, quais são (valores e onde ocorrem)?
Passo 2
Ideia geral (o que vamos fazer): para funções em um intervalo fechado verificamos pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e as extremidades do intervalo; o maior e o menor entre esses valores são, respectivamente, o máximo e o mínimo do intervalo. Antes disso, preciso garantir que a função seja contínua no intervalo para que essa estratégia faça sentido.
Verificação de continuidade e domínio: a função
está definida para todo
tal que
. O intervalo
não contém
, portanto
está bem definida e contínua em todo o intervalo
. Como é contínua em um intervalo fechado e limitado, sabemos que os extremos existem (teorema do valor extremo).
Passo 3
Calcular a derivada e achar pontos críticos (no interior do intervalo
).
Cálculo da derivada: a derivada de
é
Significado: pontos críticos são pontos onde
ou onde
não existe. Agora verifico esses casos no intervalo
.
- Resolver
:
não tem solução, porque
é sempre positivo para
, então a expressão negativa nunca é zero.
- Verificar onde
não existe: não existe apenas em , que não pertence ao intervalo .
Conclusão: não há pontos críticos no interior
.
Passo 4
Como não há pontos críticos internos, os candidatos a máximos e mínimos são apenas as extremidades do intervalo:
e
. Vou calcular
nesses pontos.
Cálculo em
:
Cálculo em
:
Agora comparar os valores:
. Portanto
é o maior valor entre os dois e
é o menor.
Também é útil notar a monotonicidade: como
para todo
,
é estritamente decrescente em todo o intervalo
. O intervalo
está contido em
, então em particular
decresce em
; sendo decrescente, o valor maior ocorre à esquerda (
) e o menor à direita (
), coerente com os cálculos.
Passo 5
Conclusão final: o máximo e o mínimo existem e ocorrem nas extremidades do intervalo. (Dica rápida para prova: sempre verifique continuidade no intervalo fechado, calcule derivada, encontre pontos críticos no interior e compare com os valores nas extremidades.)
Resposta
Máximo:
em
Mínimo: em
Mínimo: