Encontre os pontos críticos de
com precisão de três casas decimais (como no Exemplo 4). Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, se houver.
29.
29.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
com três casas decimais, depois classificá-los (mínimo, máximo ou ponto de sela) e, por fim, identificar o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, caso existam. Vamos usar gradiente igual a zero para achar os pontos críticos, depois a matriz Hessiana para classificá-los e avaliar
nesses pontos para ver extremos globais.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Os pontos críticos satisfazem
Passo 3
Da equação
temos duas possibilidades:
-
. -
e então , isto é,
Passo 4
Caso
: na equação
temos
Isso gera o ponto crítico
Passo 5
Caso
: substituímos em
:
Defina
. Ficamos com
cujas raízes positivas (pois
) são
Logo
e
Passo 6
Os pontos críticos (três casas decimais) são:
Passo 7
Calculamos a Hessiana:
O discriminante é
Passo 8
Avaliando em cada ponto:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 9
Para ver quais são extremos globais, avaliamos
nos mínimos locais:
- Em
:
- Em
:
Comparando, o menor valor é
em
. Não há valor máximo global porque
quando
.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
: mínimo local;
,
: pontos de sela;
,
: mínimos locais (globais).
Valor mais baixo global:
em
.
Valor mais alto global: não existe .
Valor mais alto global: não existe