Encontre os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais (como no Exemplo 4). Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, se houver.
29. f(x, y)=x^{4}+y^{4}-4 x^{2} y+2 y

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
f(x,y)=x^{4}+y^{4}-4x^{2}y+2y
com três casas decimais, depois classificá-los (mínimo, máximo ou ponto de sela) e, por fim, identificar o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, caso existam. Vamos usar gradiente igual a zero para achar os pontos críticos, depois a matriz Hessiana para classificá-los e avaliar f nesses pontos para ver extremos globais.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3 -8xy =4x\bigl(x^2-2y\bigr),
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3 -4x^2 +2.
Os pontos críticos satisfazem
f_x=0,\quad f_y=0.

Passo 3

Da equação f_x=0 temos duas possibilidades:
  1. x=0.
  2. x\neq0 e então x^2-2y=0, isto é, y=\tfrac{x^2}{2}.

Passo 4

Caso x=0: na equação f_y=0 temos
4y^3 +2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y^3 = -\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad y = -\bigl(\tfrac12\bigr)^{1/3}\approx -0{,}7937005\approx -0{,}794.
Isso gera o ponto crítico
P_1 = (0{,}000,\,-0{,}794).

Passo 5

Caso y=\tfrac{x^2}{2}: substituímos em f_y=0:
4\Bigl(\frac{x^2}{2}\Bigr)^{3} -4x^2 +2=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^6}{2} -4x^2 +2=0 \quad\Longrightarrow\quad x^6 -8x^2 +4=0.
Defina t=x^2. Ficamos com
t^3 -8t +4 =0,
cujas raízes positivas (pois t\ge0) são
t_1\approx0{,}517,\quad t_2\approx2{,}540.
Logo
x = \pm\sqrt{0{,}517}\approx\pm0{,}719,\quad y=\frac{0{,}517}{2}\approx0{,}259,
e
x = \pm\sqrt{2{,}540}\approx\pm1{,}594,\quad y=\frac{2{,}540}{2}=1{,}270.

Passo 6

Os pontos críticos (três casas decimais) são:
P_1=(0{,}000,\,-0{,}794),
P_2=(0{,}719,\,0{,}259),\quad P_3=(-0{,}719,\,0{,}259),
P_4=(1{,}594,\,1{,}270),\quad P_5=(-1{,}594,\,1{,}270).

Passo 7

Calculamos a Hessiana:
f_{xx}=12x^2-8y,\quad f_{yy}=12y^2,\quad f_{xy}=f_{yx}=-8x.
O discriminante é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2.

Passo 8

Avaliando em cada ponto:
  • Em P_1=(0,-0{,}794):
f_{xx}=6{,}352,\quad f_{yy}=7{,}560,\quad f_{xy}=0,\quad D=6{,}352\cdot7{,}560>0,\;f_{xx}>0 \;\Longrightarrow\;\text{mínimo local}.í
  • Em P_2,P_3=(\pm0{,}719,0{,}259):
f_{xx}\approx4{,}132,\;f_{yy}\approx0{,}805,\; f_{xy}\approx\mp5{,}752,\; D\approx4{,}132\cdot0{,}805 - (5{,}752)^2<0 \;\Longrightarrow\;\text{ponto de sela}.
  • Em P_4,P_5=(\pm1{,}594,1{,}270):
f_{xx}\approx20{,}320,\;f_{yy}\approx19{,}355,\; f_{xy}\approx\mp12{,}752,\; D\approx20{,}320\cdot19{,}355 - (12{,}752)^2>0,\;f_{xx}>0 \;\Longrightarrow\;\text{mínimo local}.í

Passo 9

Para ver quais são extremos globais, avaliamos f nos mínimos locais:
  • Em P_1:
f(0,-0{,}794)\approx (-0{,}794)^4 +2(-0{,}794)\approx0{,}397 -1{,}588 = -1{,}191.
  • Em P_{4,5}:
f(1{,}594,1{,}270)\approx1{,}594^4 +1{,}270^4 -4\cdot1{,}594^2\cdot1{,}270 +2\cdot1{,}270 \approx -1{,}309.
Comparando, o menor valor é -1{,}309 em P_4,P_5. Não há valor máximo global porque f\to+\infty quando \|(x,y)\|\to\infty.

Resposta

Pontos críticos e classificação: P_1=(0{,}000,\,-0{,}794): mínimo local; P_2=(0{,}719,\,0{,}259), P_3=(-0{,}719,\,0{,}259): pontos de sela; P_4=(1{,}594,\,1{,}270), P_5=(-1{,}594,\,1{,}270): mínimos locais (globais).
Valor mais baixo global: f_{\min}=-1{,}309 em P_4,P_5.
Valor mais alto global: não existe f\to+\infty.

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