Encontre os pontos críticos de
com precisão de três casas decimais (como no Exemplo 4). Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, se houver.
29.
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
com precisão de três casas decimais, classificá-los (mínimo, máximo ou sela) usando a matriz Hessiana e, em seguida, determinar o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, se existirem.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero:
Da primeira equação vêm dois casos:
Caso A: .
Caso B: , ou seja,
.
Caso A:
Caso B:
Passo 3
Caso A
. Na segunda equação temos
Logo há um ponto crítico
Passo 4
Caso B
. Substituindo em
:
Façamos
, obtendo
As raízes reais não negativas são
e
. Então
Isso gera quatro pontos:
Passo 5
Para classificar cada ponto, montamos a Hessiana:
e o discriminante
Avaliando em cada ponto:
-
Em
:
e mínimo local. -
Em
:
ponto de sela. -
Em
:
e mínimo local.
Passo 6
Calculemos os valores de
nesses pontos para ver o global:
-
. -
. -
.
Como
quando
ou
, não há máximo global. O menor valor encontrado é
nos pontos
.
Resposta
Pontos críticos e classificação (três casas decimais):
(1)
: mínimo local,
.
(2) : sela,
.
(3) : mínimo local,
.
(2)
(3)
O menor valor de
é
em
. Não existe valor máximo global.