Encontre os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais (como no Exemplo 4). Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, se houver.
29. f(x, y)=x^{4}+y^{4}-4 x^{2} y+2 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{4}+y^{4}-4x^{2}y+2y
com precisão de três casas decimais, classificá-los (mínimo, máximo ou sela) usando a matriz Hessiana e, em seguida, determinar o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, se existirem.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero:
f_x=4x^3-8xy=4x(x^2-2y)=0,
f_y=4y^3-4x^2+2=0.
Da primeira equação vêm dois casos:
Caso A: x=0.
Caso B: x^2-2y=0, ou seja, y=x^2/2.

Passo 3

Caso A x=0. Na segunda equação temos
4y^3+2=0 \quad\Longrightarrow\quad y^3=-\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad y=-\bigl(\tfrac12\bigr)^{1/3}\approx -0{,}7937005\approx -0{,}794.
Logo há um ponto crítico
(0,\,-0{,}794).

Passo 4

Caso B y=x^2/2. Substituindo em f_y=0:
4\bigl(\tfrac{x^2}{2}\bigr)^3-4x^2+2=0 \;\Longrightarrow\; \frac{x^6}{2}-4x^2+2=0 \;\Longrightarrow\; x^6-8x^2+4=0.
Façamos u=x^2, obtendo
u^3-8u+4=0.
As raízes reais não negativas são u_1\approx0,517 e u_2\approx2,535. Então
x=\pm\sqrt{u_1}\approx\pm0{,}719, \quad y=\frac{u_1}{2}\approx0{,}259,
x=\pm\sqrt{u_2}\approx\pm1{,}592, \quad y=\frac{u_2}{2}\approx1{,}268.
Isso gera quatro pontos:
(0{,}719,\,0{,}259),\; (-0{,}719,\,0{,}259),\; (1{,}592,\,1{,}268),\; (-1{,}592,\,1{,}268).

Passo 5

Para classificar cada ponto, montamos a Hessiana:
f_{xx}=12x^2-8y,\quad f_{yy}=12y^2,\quad f_{xy}=-8x,
e o discriminante
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2.
Avaliando em cada ponto:
  1. Em (0,-0{,}794):
    f_{xx}\approx6{,}350,\;f_{yy}\approx7{,}560,\;f_{xy}=0 \implies D>0 e f_{xx}>0 \Rightarrow mínimo local.
  2. Em (\pm0{,}719,0{,}259):
    f_{xx}\approx4{,}132,\;f_{yy}\approx0{,}805,\;f_{xy}\approx\mp5{,}752 \implies D<0 \Rightarrow ponto de sela.
  3. Em (\pm1{,}592,1{,}268):
    f_{xx}\approx20{,}28,\;f_{yy}\approx19{,}28,\;f_{xy}\approx\mp12{,}736 \implies D>0 e f_{xx}>0 \Rightarrow mínimo local.

Passo 6

Calculemos os valores de f nesses pontos para ver o global:
  • f(0,-0{,}794)\approx(-0{,}794)^4+2(-0{,}794)\approx0{,}397-1{,}587=-1{,}190.
  • f(\pm0{,}719,0{,}259)\approx0{,}268+0{,}005-0{,}535+0{,}518\approx0{,}255.
  • f(\pm1{,}592,1{,}268)\approx6{,}427+2{,}581-12{,}846+2{,}535\approx-1{,}303.
Como f\to+\infty quando |x| ou |y|\to\infty, não há máximo global. O menor valor encontrado é -1{,}303 nos pontos (\pm1{,}592,1{,}268).

Resposta

Pontos críticos e classificação (três casas decimais):
(1) (0,-0{,}794): mínimo local, f\approx-1{,}190.
(2) (\pm0{,}719,0{,}259): sela, f\approx0{,}255.
(3) (\pm1{,}592,1{,}268): mínimo local, f\approx-1{,}303.
O menor valor de f é -1{,}303 em (\pm1{,}592,1{,}268). Não existe valor máximo global.

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