(PUCCAMP) Uma progressão aritmética (P.A.) e uma progressão geométrica (P.G.), cujos termos são inteiros, têm o mesmo primeiro termo e a mesma razão. Se o quinto termo da P.A. é 11 e a diferença entre o segundo termo da P.G. e o segundo termo da P.A. é 1, então o quinto termo da P.G. é
(A) 243
(D) 48
(C) 95
(B) 162
(E) 32
(A) 243
(D) 48
(C) 95
(B) 162
(E) 32
Passo 1
O enunciado envolve uma progressão aritmética (P.A.) e uma progressão geométrica (P.G.) de termos inteiros, com o mesmo primeiro termo
e a mesma razão
(diferença para a P.A. e razão para a P.G.). Sabemos que o quinto termo da P.A. vale 11, e que a diferença entre o segundo termo da P.G. e o segundo termo da P.A. é 1. Queremos achar o quinto termo da P.G.
Passo 2
Na P.A. de primeiro termo
e razão
, o quinto termo é
Na P.G. de primeiro termo
e razão
, o segundo termo é
, e na P.A. o segundo termo é
. As condições do enunciado viram o sistema
Passo 3
Vamos simplificar a segunda equação:
Passo 4
Como
e
são inteiros, os pares
que multiplicam 2 são
,
,
e
. Testando junto com
:
- Se
, então , e . - Se
, então , e ok.
Os outros pares dão soma diferente de 11. Logo
Passo 5
O quinto termo da P.G. é
Resposta
48