(PUCCAMP) Uma progressão aritmética (P.A.) e uma progressão geométrica (P.G.), cujos termos são inteiros, têm o mesmo primeiro termo e a mesma razão. Se o quinto termo da P.A. é 11 e a diferença entre o segundo termo da P.G. e o segundo termo da P.A. é 1, então o quinto termo da P.G. é
(A) 243
(D) 48
(C) 95
(B) 162
(E) 32

Passo 1

O enunciado envolve uma progressão aritmética (P.A.) e uma progressão geométrica (P.G.) de termos inteiros, com o mesmo primeiro termo a e a mesma razão r (diferença para a P.A. e razão para a P.G.). Sabemos que o quinto termo da P.A. vale 11, e que a diferença entre o segundo termo da P.G. e o segundo termo da P.A. é 1. Queremos achar o quinto termo da P.G.

Passo 2

Na P.A. de primeiro termo a e razão r, o quinto termo é
T_{5}^{PA} = a + 4r.
Na P.G. de primeiro termo a e razão r, o segundo termo é T_{2}^{PG}=a\,r, e na P.A. o segundo termo é T_{2}^{PA}=a+r. As condições do enunciado viram o sistema
a + 4r = 11,
a\,r - (a + r) = 1.

Passo 3

Vamos simplificar a segunda equação:
a\,r - a - r = 1 \quad\Longrightarrow\quad a\,r - a - r + 1 = 2 \quad\Longrightarrow\quad (a-1)(r-1) = 2.

Passo 4

Como a e r são inteiros, os pares (a-1,r-1) que multiplicam 2 são (1,2), (2,1), (-1,-2) e (-2,-1). Testando junto com a+4r=11:
  • Se (a-1,r-1)=(1,2), então a=2, r=3 e 2+4\cdot3=14\neq11.
  • Se (a-1,r-1)=(2,1), então a=3, r=2 e 3+4\cdot2=11 ok.
    Os outros pares dão soma diferente de 11. Logo
a=3,\quad r=2.

Passo 5

O quinto termo da P.G. é
T_{5}^{PG}=a\,r^{4}=3\cdot2^{4}=3\cdot16=48.

Resposta

48

Exercícios relacionados