encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiões do plano
determinadas pelos gráficos das soluções de equilíbrio.
Passo 1
O enunciado pede o retrato de fase de uma equação diferencial autônoma de primeira ordem
ou seja, achar os pontos de equilíbrio (onde
), estudar o sinal de
nas regiões entre eles, e classificar cada ponto como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Em seguida, esboçaremos curvas integrais típicas no plano
.
Passo 2
Encontramos os pontos críticos resolvendo
Isso ocorre se e somente se
Note que a função está definida apenas para
, isto é,
. Logo os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Analisamos o sinal de
em cada intervalo de
:
- Para
:
e
implica
. Logo
.
- Para
:
e
implica
. Logo
.
- Para
:
e
implica
. Logo
.
Passo 4
Do comportamento de
em torno dos pontos críticos:
- Em
: para
temos
(setas para cima) e para
temos
(setas para baixo). Isso atrai as soluções para
, logo é assintoticamente estável.
- Em
: para
temos
e para
temos
. Isso afasta as soluções de
, logo é instável.
Não existe ponto semiestável neste caso.
Passo 5
Retrato de fase (linha de fase em
):
Em cada região do plano
(dividido pelas soluções de equilíbrio
e
), as curvas integrais se comportam assim:
- Para
:
, as curvas sobem quando
aumenta.
- Para :
, as curvas descem.
- Para :
, as curvas sobem novamente.
- Para
- Para
No plano
traçamos as retas horizontais
e
como soluções constantes e, entre elas, esboçamos curvas que sobem ou descem conforme indicado.