encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiões do plano x y determinadas pelos gráficos das soluções de equilíbrio.
d yd x=y ln (y+2)

Passo 1

O enunciado pede o retrato de fase de uma equação diferencial autônoma de primeira ordem
dydx = y ,ln(y+2),
ou seja, achar os pontos de equilíbrio (onde dy/dx=0), estudar o sinal de f(y)=yln(y+2) nas regiões entre eles, e classificar cada ponto como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Em seguida, esboçaremos curvas integrais típicas no plano xy.

Passo 2

Encontramos os pontos críticos resolvendo
yln(y+2)=0
Isso ocorre se e somente se
y=0 ou ln(y+2)=0implies y+2=1implies y=-1
Note que a função está definida apenas para y+2>0, isto é, y>-2. Logo os pontos críticos são y=-1 e y=0.

Passo 3

Analisamos o sinal de f(y)=yln(y+2) em cada intervalo de y>-2:
- Para -2<y<-1:
y<0 e 0<y+2<1 implica ln(y+2)<0. Logo f(y)>0.
- Para -1<y<0:
y<0 e y+2>1 implica ln(y+2)>0. Logo f(y)<0.
- Para y>0:
y>0 e y+2>2 implica ln(y+2)>0. Logo f(y)>0.

Passo 4

Do comportamento de f(y) em torno dos pontos críticos:
- Em y=-1: para yto-1^- temos f(y)>0 (setas para cima) e para yto-1^+ temos f(y)<0 (setas para baixo). Isso atrai as soluções para y=-1, logo é assintoticamente estável.
- Em y=0: para yto0^- temos f(y)<0 e para yto0^+ temos f(y)>0. Isso afasta as soluções de y=0, logo é instável.
Não existe ponto semiestável neste caso.

Passo 5

Retrato de fase (linha de fase em ):
Em cada região do plano (dividido pelas soluções de equilíbrio e ), as curvas integrais se comportam assim:
- Para : , as curvas sobem quando aumenta.
- Para : , as curvas descem.
- Para : , as curvas sobem novamente.
No plano traçamos as retas horizontais e como soluções constantes e, entre elas, esboçamos curvas que sobem ou descem conforme indicado.

Resposta

y=-1: assintoticamente estável
y=0: instável

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