Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função $ g(x, y) = y^{2} + 32 \cos x $. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariado, especificamente o estudo de derivadas parciais. Para encontrar os pontos críticos, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $, igualá-las a zero e resolver o sistema resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Um ponto crítico de uma função de várias variáveis é um ponto onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Esses pontos são importantes porque podem representar máximos, mínimos ou pontos de sela da função.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ g(x, y) $ em relação a $ x $. A derivada parcial em relação a $ x $ é denotada por $ \frac{\partial g}{\partial x} $.
Como $ y^{2} $ é tratado como uma constante em relação a $ x $, sua derivada é zero. A derivada de $ 32 \cos x $ em relação a $ x $ é $ -32 \sin x $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ g(x, y) $ em relação a $ y $, que é $ \frac{\partial g}{\partial y} $.
Aqui, $ 32 \cos x $ é tratado como uma constante em relação a $ y $, então sua derivada é zero. A derivada de $ y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 2y $.
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo a segunda equação $ 2y = 0 $, obtemos:
Passo 7
Agora, resolvemos a primeira equação $ -32 \sin x = 0 $:
Isso acontece quando $ x $ é um múltiplo inteiro de $ \pi $, ou seja:
Resposta
Os pontos críticos da função $ g(x, y) = y^{2} + 32 \cos x $ ocorrem quando $ y = 0 $ e $ x = k\pi $ para qualquer inteiro $ k $. Portanto, os pontos críticos são: