Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
Beleza! A gente vai encontrar os pontos críticos da função $ v(x, y) = y e^{x} - e^{y} $. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ v $ em relação a $ x $, que é representada por $ \frac{\partial v}{\partial x} $. Seguindo as regras de derivação, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ v $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos ambas as derivadas a zero:
Passo 5
Vamos resolver a equação (1):
Sabemos que $ e^{x} $ nunca é zero, então a única possibilidade é $ y = 0 $.
Passo 6
Com $ y = 0 $, substituímos na equação (2):
Para que $ e^{x} = 1 $, $ x $ deve ser igual a 0.
Passo 7
Então, o ponto crítico é $ (x, y) = (0, 0) $.
Resposta
O ponto crítico da função $ v(x, y) = y e^{x} - e^{y} $ é $ (0, , 0) $.