Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
v(x, y)=y e^x-e^y

Passo 1

Beleza! A gente vai encontrar os pontos críticos da função $ v(x, y) = y e^{x} - e^{y} $. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ v $ em relação a $ x $, que é representada por $ \frac{\partial v}{\partial x} $. Seguindo as regras de derivação, temos:
v

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ v $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
v

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos ambas as derivadas a zero:
y e^x = 0 (1)
e^x - e^y = 0 (2)

Passo 5

Vamos resolver a equação (1):
y e^x = 0
Sabemos que $ e^{x} $ nunca é zero, então a única possibilidade é $ y = 0 $.

Passo 6

Com $ y = 0 $, substituímos na equação (2):
y = 0
Para que $ e^{x} = 1 $, $ x $ deve ser igual a 0.

Passo 7

Então, o ponto crítico é $ (x, y) = (0, 0) $.

Resposta

O ponto crítico da função $ v(x, y) = y e^{x} - e^{y} $ é $ (0, , 0) $.

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