Use as tabelas de transformadas e propriedades para encontrar as Transformadas de Fourier de tempo contínuo e discreto, diretas ou inversas, dos seguintes sinais:
x[n]=sen(pi4 n)(14)^n u[n-1]

Passo 1

O sinal é
x[n]=sin!l(tfracpi4nr),l(tfrac14r)^nu[n-1],
Precisamos da Transformada de Fourier Discreta (DTFT) de x[n]. Vamos usar:
  1. A transformada de a^n u[n], que vale sumn=0^infty a^n e^-jomega n=11-ae^-jomega para |a|<1.
  2. A propriedade de modulação por exponencial (para representar o sin em termos de exponenciais complexas).
  3. O fato de que em n=0 temos sin(0),(1/4)^0=0, logo podemos trocar u[n-1] por u[n] sem alterar a soma.

Passo 2

Como sin(0)=0, podemos reescrever
x[n]=sin!l(tfracpi4nr),l(tfrac14r)^nu[n],

Passo 3

Usamos a identidade
sin!l(tfracpi4nr)=12jl(e^jpi4n-e^-jpi4nr)
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x[n] =12jl((tfrac14e^jpi/4)^n-(tfrac14e^-jpi/4)^nr)u[n],

Passo 4

Pela linearidade e pela transformada de a^n u[n], com a1=tfrac14e^jpi/4 e a2=tfrac14e^-jpi/4, obtemos
X(e^jomega) =sumn=0^infty x[n],e^-jomega n =12jl(tfrac11-a1e^-jomega-tfrac11-a2e^-jomegar)

Passo 5

Substituindo a1 e a2 em cada termo, fica
X(e^jomega) =12jgl( 11-14e^jpi/4e^-jomega -11-14e^-jpi/4e^-jomega gr)
Podemos ainda escrever numa forma única:
X(e^jomega) =raiz28,e^-jomega 1-raiz24e^-jomega+116e^-j2omega,

Resposta

X(e^jomega) =12jgl( 11-tfrac14e^jpi/4e^-jomega -11-tfrac14e^-jpi/4e^-jomega gr) =tfracraiz28,e^-jomega 1-tfracraiz24e^-jomega+tfrac116e^-j2omega

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