Encontre os pontos
em que a curva parametrizada possui tangente horizontal e tangente vertical. Esboce a curva.
(a)
(a)
Passo 1
Resumindo o enunciado: a curva é dada em coordenadas polares por
e queremos encontrar os pontos
onde a tangente é horizontal e onde é vertical, além de esboçar a curva. O conteúdo é derivação de curvas parametrizadas em coordenadas polares, usando
e depois computar
.
Passo 2
Obtemos as equações paramétricas em
e
:
Passo 3
Calculamos as derivadas em relação a
:
Logo,
Passo 4
Tangente horizontal ocorre quando
, ou seja
.
Os pontos únicos no círculo são para
e
.
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Tangente vertical ocorre quando
, ou seja
.
Os pontos distintos são para
(ou
) e
(ou
).
Para :
Para
Para
:
Passo 6
Esboço da curva: em coordenadas cartesianas ela satisfaz
ou seja é um círculo de centro
e raio
. Os pontos de tangente horizontal
ficam no topo e na base do círculo; os de tangente vertical em
e
.
Resposta
Tangente horizontal em
e
.
Tangente vertical em e em
.
A curva é o círculo .
Tangente vertical em
A curva é o círculo