Encontre os pontos (x, y) em que a curva parametrizada possui tangente horizontal e tangente vertical. Esboce a curva.
(a) r=3 cos theta

Passo 1

Resumindo o enunciado: a curva é dada em coordenadas polares por
r = 3costheta,
e queremos encontrar os pontos (x,y) onde a tangente é horizontal e onde é vertical, além de esboçar a curva. O conteúdo é derivação de curvas parametrizadas em coordenadas polares, usando
x(theta)=rcostheta, y(theta)=rsintheta
e depois computar dfracdydx=dfracdy/dthetadx/dtheta.

Passo 2

Obtemos as equações paramétricas em x e y:
x(theta)=rcostheta=3costhetacostheta=3cos^2theta,
y(theta)=rsintheta=3costhetasintheta=tfrac32sin2theta

Passo 3

Calculamos as derivadas em relação a theta:
dxdtheta =ddthetal(3cos^2thetar) =3cdot2costhetacdot(-sintheta) =-6costhetasintheta =-3sin2theta,
dydtheta =ddthetal(tfrac32sin2thetar) =tfrac32cdot2cos2theta =3cos2theta
Logo,
dydx =dy/dthetadx/dtheta =3cos2theta-3sin2theta =-cot2theta

Passo 4

Tangente horizontal ocorre quando dfracdydx=0, ou seja cos2theta=0.
2theta=pi2+kpi Longrightarrow theta=pi4+kpi2,;kinZ
Os pontos únicos no círculo são para theta=pi/4 e theta=3pi/4.
Para theta=pi/4:
x=3cos^2!tfracpi4=3cdot12=32, y=tfrac32sinl(2cdottfracpi4r) =tfrac32sintfracpi2 =32
Para theta=3pi/4:
x=3cos^2!tfrac3pi4=3cdot12=32, y=tfrac32sinl(2cdottfrac3pi4r) =tfrac32sintfrac3pi2 =-32

Passo 5

Tangente vertical ocorre quando dfracdxdtheta=0, ou seja sin2theta=0.
2theta=kpi Longrightarrow theta=kpi2,;kinZ
Os pontos distintos são para theta=0 (ou pi) e theta=tfracpi2 (ou tfrac3pi2).
Para theta=0:
x=3cos^2 0=3, y=tfrac32sin0=0
Para theta=tfracpi2:
x=3cos^2tfracpi2=0, y=tfrac32sinpi=0

Passo 6

Esboço da curva: em coordenadas cartesianas ela satisfaz
r=3costheta Long<=ftrightarrow x^2+y^2=3x,
ou seja é um círculo de centro l(tfrac32,0r) e raio tfrac32. Os pontos de tangente horizontal l(tfrac32,pmtfrac32r) ficam no topo e na base do círculo; os de tangente vertical em (3,0) e (0,0).

Resposta

Tangente horizontal em l(tfrac32,,tfrac32r) e l(tfrac32,,-tfrac32r).
Tangente vertical em (3,0) e em (0,0).
A curva é o círculo (x-tfrac32)^2+y^2=(tfrac32)^2.

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