Use o teorema fundamental da integral de linha para calcular
integralgamma F cdot d r
onde
F=(1y, 1z-xy^2,-yz^2)
e gamma é a curva iniciando em (1,2,1) e finalizando em (2,1,1).
( ) -1 / 3
( ) 1 / 2
( ) 0
( ) 3 / 5
( ) 2 raiz2
( ) 3 raiz2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralgammavec Fcdot dvec r
onde
vec F=l(1y,;1z-xy^2,;-yz^2r)
e gamma vai de (1,2,1) até (2,1,1).
O conteúdo é o Teorema Fundamental da Integral de Linha, ou seja, se vec F for conservativo (isto é, vec F=nablaphi), então
integralgammavec Fcdot dvec r=phil(ponto finalr)-phil(ponto inicialr)

Passo 2

Vamos buscar um potencial phi(x,y,z) tal que nablaphi=vec F. Começamos integrando a componente P(x,y,z)=1/y em relação a x:
partialphipartial x=1y Longrightarrow phi(x,y,z)=integral1y,dx=xy+g(y,z),
onde g é uma função que ainda pode depender de y e z.

Passo 3

Agora usamos a componente em y:
partialphipartial y =partialpartial yl(xy+g(y,z)r) =-xy^2+partial gpartial y
e sabemos que isso deve ser igual a
F2=1z-xy^2
Igualando:
-xy^2+partial gpartial y =1z-xy^2 Longrightarrow partial gpartial y=1z
Integrando em y:
g(y,z)=integral1z,dy=yz+h(z),
com h função só de z.

Passo 4

Por fim, usamos a componente em z:
partialphipartial z =partialpartial zl(xy+yz+h(z)r) =-yz^2+h'(z)
que deve ser igual a
F3=-yz^2
Logo
-yz^2+h'(z)=-yz^2 Longrightarrow h'(z)=0
e h(z) é constante. Podemos então tomar como potencial
phi(x,y,z)=xy+yz

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha:
integralgammavec Fcdot dvec r =phil(2,1,1r)-phil(1,2,1r)
Calculando:
phi(2,1,1)=21+11=3, phi(1,2,1)=12+21=12+2=52
Portanto
integralgammavec Fcdot dvec r =3-52=12

Resposta

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