Encontre os pontos
em que a curva parametrizada possui tangente horizontal e tangente vertical. Esboce a curva.
(d)
(d)
Passo 1
Temos a curva polar
que, em coordenadas cartesianas, tem parametrização
Para achar tangentes horizontais e verticais, usamos
Tangente horizontal ocorre quando
e
; tangente vertical quando
e
.
Passo 2
Calculamos as derivadas de
e
:
Passo 3
Para tangente horizontal, impomos
No intervalo
isso dá
e
. Em cada um,
. Os pontos são
Passo 4
Para tangente vertical, impomos
No mesmo intervalo,
e
. Nestes,
. Os pontos são
Passo 5
Esboço da curva: trata-se de uma espiral logarítmica (ou espiral equiangular) que se aproxima do polo quando
e se afasta exponencialmente à medida que
, girando indefinidamente em sentido anti-horário.
Resposta
Pontos de tangente horizontal:
Pontos de tangente vertical:
Esboço: espiral logarítmica
.