Encontre os pontos (x, y) em que a curva parametrizada possui tangente horizontal e tangente vertical. Esboce a curva.
(d) r=e^theta

Passo 1

Temos a curva polar
r = e^theta
que, em coordenadas cartesianas, tem parametrização
x(theta) = e^thetacostheta, y(theta) = e^thetasintheta
Para achar tangentes horizontais e verticais, usamos
dydx = dydthetadxdtheta
Tangente horizontal ocorre quando dydtheta=0 e dxdthetaneq0; tangente vertical quando dxdtheta=0 e dydthetaneq0.

Passo 2

Calculamos as derivadas de x(theta) e y(theta):
dxdtheta = ddthetal(e^thetacosthetar) = e^theta(costheta - sintheta),
dydtheta = ddthetal(e^thetasinthetar) = e^theta(sintheta + costheta)

Passo 3

Para tangente horizontal, impomos
dydtheta=0 Longrightarrow sintheta+costheta=0 Longrightarrow theta = -tfracpi4+kpi
No intervalo [0,2pi) isso dá theta=3pi/4 e theta=7pi/4. Em cada um, dxdtheta=e^theta(costheta-sintheta)neq0. Os pontos são
theta=3pi/4: ; r=e^3pi/4, ; (x,y)=l(-tfrace^3pi/4raiz2,,tfrace^3pi/4raiz2r),
theta=7pi/4: ; r=e^7pi/4, ; (x,y)=l(tfrace^7pi/4raiz2,,-tfrace^7pi/4raiz2r)

Passo 4

Para tangente vertical, impomos
dxdtheta=0 Longrightarrow costheta-sintheta=0 Longrightarrow theta = tfracpi4+kpi
No mesmo intervalo, theta=pi/4 e theta=5pi/4. Nestes, dydtheta=e^theta(sintheta+costheta)neq0. Os pontos são
theta=pi/4: ; r=e^pi/4, ; (x,y)=l(tfrace^pi/4raiz2,,tfrace^pi/4raiz2r),
theta=5pi/4: ; r=e^5pi/4, ; (x,y)=l(-tfrace^5pi/4raiz2,,-tfrace^5pi/4raiz2r)

Passo 5

Esboço da curva: trata-se de uma espiral logarítmica (ou espiral equiangular) que se aproxima do polo quando thetato-infty e se afasta exponencialmente à medida que thetato+infty, girando indefinidamente em sentido anti-horário.

Resposta

Pontos de tangente horizontal:
l(-tfrace^3pi/4raiz2,,tfrace^3pi/4raiz2r), l(tfrace^7pi/4raiz2,,-tfrace^7pi/4raiz2r)
Pontos de tangente vertical:
l(tfrace^pi/4raiz2,,tfrace^pi/4raiz2r), l(-tfrace^5pi/4raiz2,,-tfrace^5pi/4raiz2r)
Esboço: espiral logarítmica r=e^theta.

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