Encontre os pontos
em que a curva parametrizada possui tangente horizontal e tangente vertical. Esboce a curva.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede os pontos em que a curva polar
tem tangente horizontal (ou seja, inclinação zero) e tangente vertical (inclinação infinita). Vamos usar coordenadas cartesianas
,
e a fórmula
Passo 2
Primeiro escrevemos
Daí
Passo 3
Calculando explicitamente:
Passo 4
Tangente horizontal ocorre quando
e
.
Se
(isto é,
) então
, o que dá um cusp (não é tangente horizontal). Logo só
, isto é
ou
.
Passo 5
Para
e
temos
Portanto as tangentes horizontais ocorrem em
Passo 6
Tangente vertical ocorre quando
e
. Da expressão
vem ou
.
vem
Para
temos
.
- Em
surge cusp ( , tanto quanto nulos). - Em
(ou ) temos , , logo vertical em
Para
(isto é,
) temos
e
logo também vertical em
Passo 7
O esboço é o cardioide clássico deslocado à direita, com cusp na origem (
), vértice direito em
e simetria em relação ao eixo
. As tangentes horizontais estão nos “lóbulos” superior e inferior, as verticais no extremo direito e nos pontos laterais.
Resposta
Tangentes horizontais em
Tangentes verticais em