Encontre os pontos (x, y) em que a curva parametrizada possui tangente horizontal e tangente vertical. Esboce a curva.
(c) r=1+cos theta

Passo 1

O enunciado pede os pontos em que a curva polar
r = 1 + costheta
tem tangente horizontal (ou seja, inclinação zero) e tangente vertical (inclinação infinita). Vamos usar coordenadas cartesianas x(theta)=rcostheta, y(theta)=rsintheta e a fórmula
dydx = dydthetadxdtheta

Passo 2

Primeiro escrevemos
r(theta) = 1 + costheta, drdtheta = -sintheta,
x(theta) = rcostheta, y(theta) = rsintheta
Daí
dxdtheta = drdthetacostheta - rsintheta, dydtheta = drdthetasintheta + rcostheta

Passo 3

Calculando explicitamente:
dxdtheta = -sinthetacostheta - (1+costheta)sintheta = -sintheta,(1+2costheta),
dydtheta = -sin^2theta + (1+costheta)costheta = cos2theta + costheta

Passo 4

Tangente horizontal ocorre quando dydtheta=0 e dxdthetaneq0.
cos2theta + costheta = 0 ;Longrightarrow; 2cos^2theta -1 + costheta = 0 ;Longrightarrow; costheta = tfrac12 ou costheta=-1
Se costheta=-1 (isto é, theta=pi) então dxdtheta=0, o que dá um cusp (não é tangente horizontal). Logo só costheta=tfrac12, isto é
theta=tfracpi3 ou theta=tfrac5pi3.

Passo 5

Para theta=tfracpi3 e tfrac5pi3 temos
r=1+tfrac12=tfrac32,
(x,y)=l(tfrac32costheta,;tfrac32sinthetar) = l(tfrac34,;pmtfrac3raiz34r)
Portanto as tangentes horizontais ocorrem em
l(tfrac34,;tfrac3raiz34r) e l(tfrac34,;-tfrac3raiz34r)

Passo 6

Tangente vertical ocorre quando dxdtheta=0 e dydthetaneq0. Da expressão
dxdtheta=-sintheta,(1+2costheta)=0
vem sintheta=0 ou costheta=-tfrac12.
Para sintheta=0 temos theta=0,,pi,,2pi.
  • Em theta=pi surge cusp ( r=0, tanto dx/dtheta quanto dy/dtheta nulos).
  • Em theta=0 (ou 2pi) temos r=2, dydtheta=2neq0, logo vertical em
(2,0)
Para costheta=-tfrac12 (isto é, theta=tfrac2pi3,,tfrac4pi3) temos r=1-tfrac12=tfrac12 e
dydtheta=cos2theta+costheta=-tfrac12-tfrac12=-1neq0,
logo também vertical em
l(-tfrac14,;pmtfracraiz34r)

Passo 7

O esboço é o cardioide clássico deslocado à direita, com cusp na origem ( theta=pi), vértice direito em (2,0) e simetria em relação ao eixo x. As tangentes horizontais estão nos “lóbulos” superior e inferior, as verticais no extremo direito e nos pontos laterais.

Resposta

Tangentes horizontais em
l(tfrac34,;tfrac3raiz34r), l(tfrac34,;-tfrac3raiz34r)
Tangentes verticais em
(2,0), l(-tfrac14,;tfracraiz34r), l(-tfrac14,;-tfracraiz34r)

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