Sejam
e
curvas no espaço parametrizadas por
Determine o ângulo formado pelos vetores tangentes às curvas
e
nesse ponto.
Passo 1
O enunciado nos dá duas curvas paramétricas no espaço,
e
, e pede o ângulo entre seus vetores tangentes no ponto em que elas se encontram. Vamos precisar então: achar o ponto de interseção (resolvendo
), calcular as derivadas (tangentes)
e
nesse ponto, e usar a fórmula do produto escalar para obter o ângulo.
Passo 2
Para encontrar o ponto de interseção, impomos componente a componente:
Da segunda equação vem
, logo
ou seja
.
Passo 3
Substituindo
em
dá
. A terceira equação vira
Que só é satisfeita para
, pois para
temos
. Assim o ponto de interseção é obtido em
,
.
Passo 4
As derivadas das parametrizações são
No ponto de interseção (
,
) isso vale
Passo 5
Para achar o ângulo
entre
e
, usamos
Calculando:
Logo