Sejam gamma1 e gamma2 curvas no espaço parametrizadas por
& gamma1: r1(t)=e^t i+2 sin (t+pi2) j+(t^2-2) k & gamma2: r2(lambda)=lambda i+2 j+(lambda^2-3) k
Determine o ângulo formado pelos vetores tangentes às curvas gamma1 e gamma2 nesse ponto.

Passo 1

O enunciado nos dá duas curvas paramétricas no espaço, gamma1 e gamma2, e pede o ângulo entre seus vetores tangentes no ponto em que elas se encontram. Vamos precisar então: achar o ponto de interseção (resolvendo vec r1(t)=vec r2(lambda)), calcular as derivadas (tangentes) vec r1'(t) e vec r2'(lambda) nesse ponto, e usar a fórmula do produto escalar para obter o ângulo.

Passo 2

Para encontrar o ponto de interseção, impomos componente a componente:
e^t = lambda, 2sinl(t+tfracpi2r)=2, t^2 - 2 = lambda^2 - 3
Da segunda equação vem sin(t+pi2)=1, logo t+pi2=pi2+2kpi ou seja t=2kpi.

Passo 3

Substituindo t=2kpi em e^t=lambda lambda=e^2kpi. A terceira equação vira
(2kpi)^2 - 2 = e^4kpi - 3
Que só é satisfeita para k=0, pois para k=0 temos 0-2 = 1-3. Assim o ponto de interseção é obtido em t=0, lambda=1.

Passo 4

As derivadas das parametrizações são
vec r1'(t) = l(e^t,,-2sin t,,2tr), vec r2'(lambda)=l(1,,0,,2lambdar)
No ponto de interseção ( t=0, lambda=1) isso vale
vec v=vec r1'(0)=(1,0,0), vec w=vec r2'(1)=(1,0,2)

Passo 5

Para achar o ângulo theta entre vec v e vec w, usamos
costheta = vec v cdot vec w|vec v|,|vec w|
Calculando:
vec v cdot vec w = 1cdot1 + 0 + 0 = 1, |vec v|=1, |vec w|=raiz1+0+4=raiz5
Logo
costheta = 1raiz5, theta = arccos!l(tfrac1raiz5r)

Resposta

theta = arccos!l(1/raiz5r)

Exercícios relacionados