Encontre as soluções gerais das seguintes equações:
d yd x+3 x y=0

Passo 1

Temos a EDO de primeira ordem dydx + 3xy = 0. O conteúdo é equações diferenciais lineares homogêneas de 1ª ordem e vamos usar o método de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Reescrevemos a equação passando todos os termos em y para um lado e os de x para o outro:
1ydydx = -3x

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usamos dy/y e no direito a integral de -3x:
integral1y,dy = integral -3x,dx implies ln|y| = -3x^22 + C, onde C é a constante de integração.

Passo 4

Elevamos exponencial nos dois lados para isolar y e escrevemos a constante de forma genérica K = e^C:
|y| = e^Ce^-3x^22 implies y = K e^-3x^22, com K sendo uma constante real (que já absorveu o sinal de y).

Resposta

A solução geral é y = C e^-tfrac3x^22, onde C é uma constante real arbitrária.

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