Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
15. L^-12 s-6s^2+9

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
2s - 6s^2 + 9
Para isso vamos usar o Teorema 7.2.1 (linearidade) e as fórmulas básicas:
L cos(at) = ss^2 + a^2 e
L sin(at) = as^2 + a^2.

Passo 2

Decompomos a função em duas parcelas:
2s - 6s^2 + 9 = 2ss^2 + 9 ;-; 6s^2 + 9

Passo 3

Identificamos cada parcela com uma transformada conhecida:
  • 2ss^2 + 9 = 2,ss^2 + 3^2 corresponde a 2cos(3t).
  • 6s^2 + 9 = 2,3s^2 + 3^2 corresponde a 2sin(3t).

Passo 4

Aplicando a linearidade da transformada inversa:
L^-1tfrac2ss^2+9 = 2cos(3t), L^-1tfrac6s^2+9 = 2sin(3t)
Como o segundo termo veio com sinal negativo, a combinação é
f(t) = 2cos(3t) ;-; 2sin(3t)

Resposta

L^-1tfrac2s - 6s^2 + 9(t) = 2cos(3t) - 2sin(3t)

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