Encontre os pontos da curva nos quais a reta tangente é horizontal ou vertical.
x=t^3-3 t, y=t^3-3 t

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=t^3-3t, y(t)=t^3-3t
e pede os valores de t onde a reta tangente é horizontal (isto é, tfracdydt=0 com tfracdxdtneq0) ou vertical (isto é, tfracdxdt=0 com tfracdydtneq0).

Passo 2

Calculemos as derivadas em relação a t:
dxdt=3(t^2-1), dydt=3(t^2-1)

Passo 3

Para reta tangente horizontal precisamos de
dydt=0 e dxdtneq0
Da primeira condição vem t^2-1=0Rightarrow t=pm1. Mas nesses mesmos t temos tfracdxdt=3(t^2-1)=0, o que falha a segunda condição. Logo não há tangente horizontal.

Passo 4

Para reta tangente vertical precisamos de
dxdt=0 e dydtneq0
De novo t=pm1 zera ambas as derivadas, falhando tfracdydtneq0. Logo não há tangente vertical.

Passo 5

Em todos os t com derivadas definidas,
dydx =tfracdydttfracdxdt =1,
ou seja, a curva segue a reta y=x com inclinação 1. Nos pontos t=pm1 a tangente paramétrica é degenerada ( 0,0), mas não torna-se horizontal nem vertical.

Resposta

Não existem pontos da curva em que a reta tangente seja horizontal ou vertical.

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