Explique com suas palavras o significado de cada um dos itens a seguir.
lim x infty f(x)=5

Passo 1

O enunciado pede para interpretarmos o significado de
limx to infty f(x) = 5
O conteúdo é limites de funções quando a variável independente cresce sem bound, e vamos precisar tanto da definição formal (com varepsilon e M) quanto da intuição geométrica.

Passo 2

A definição formal diz:
“Para todo varepsilon>0 existe um M>0 tal que, sempre que x > M, temos
l|f(x) - 5r| < varepsilon
Isso significa que podemos tornar a diferença entre f(x) e o valor 5 tão pequena quanto quisermos, bastando escolher x suficientemente grande.

Passo 3

Intuitivamente, conforme x cresce para valores muito grandes, os valores de f(x) vão se “acomodando” cada vez mais perto de 5. Depois de um certo ponto M, todo o gráfico de f fica dentro de uma faixa de altura entre 5-varepsilon e 5+varepsilon.

Passo 4

Geometricamente, num plano xy, a reta horizontal y=5 atua como uma “assíntota horizontal”: o gráfico de f se aproxima dela à medida que x vai para a direita, sem necessariamente tocá-la, mas ficando arbitrariamente próximo.

Resposta

Significa que, ao deixarmos x crescer sem limite, os valores de f(x) se aproximam cada vez mais de 5. Em outras palavras, independente de quão pequeno seja o intervalo em torno de 5, existe um ponto a partir do qual todo f(x) estará dentro desse intervalo.

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