Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
lim x 0 f(x)=infty, lim x 3^- f(x)=-infty, lim x 3^+ f(x)=infty, lim x -infty f(x)=1, lim x infty f(x)=-1

Passo 1

O enunciado pede uma função f que tenha:
1. Vertical assíntota em x=0 com limxto0f(x)=+infty.
2. Vertical assíntota em x=3 com
limxto3^-f(x)=-infty e limxto3^+f(x)=+infty.
3. Horizontal assíntota y=1 em xto-infty e y=-1 em xto+infty.
Para esboçar um exemplo, vamos montar uma função em duas partes (para x<3 e x>3) combinando termos que geram as assíntotas desejadas.

Passo 2

Para x<3 definimos
f1(x) = 1 ;+;1x^2;+;1x-3
1x^2 garante limxto0f1(x)=+infty de ambos os lados de 0.
1x-3 garante limxto3^-f1(x)=-infty.
– Para xto-infty temos 1x^2to0 e 1x-3to0, logo f1(x)to1.

Passo 3

Para x>3 definimos
f2(x) = -1 ;-;1x^2;+;1x-3
-1x^2 não altera o sinal infinito em xto3^+.
1x-3 garante limxto3^+f2(x)=+infty.
– Para xto+infty temos 1x^2to0 e 1x-3to0, logo f2(x)to-1.

Passo 4

Reunindo em definição por partes:
f(x)= 1 + dfrac1x^2 + dfrac1x-3, & x<3,[1em] -1 - dfrac1x^2 + dfrac1x-3, & x>3
Essa f tem exatamente as assíntotas verticais em x=0 (ambos os lados vão a +infty) e em x=3 (esquerda a -infty, direita a +infty), e as horizontais em y=1 para xto-infty e y=-1 para xto+infty.]

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Para xll0, a curva se aproxima de y=1.
  • Ao chegar em x=0, sobe até +infty e reaparece descendo de +infty para valores finitos.
  • Quando xto3^-, a curva cai para -infty.
  • Logo após x=3, parte de +infty e decresce passando para valores finitos.
  • Conforme xto+infty, a curva se aproxima de y=-1.

Resposta

Um exemplo de função que satisfaz todas as condições é
f(x)= 1 + dfrac1x^2 + dfrac1x-3, & x<3,[1em] -1 - dfrac1x^2 + dfrac1x-3, & x>3
O esboço exibe as assíntotas:
&x=0, limxto0f(x)=+infty; &x=3, limxto3^-f(x)=-infty,;limxto3^+f(x)=+infty; &y=1 em xto-infty, y=-1 em xto+infty ]

Exercícios relacionados