Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça a todas as condições dadas. ,
Passo 1
O enunciado pede uma função que tenha:
. Vertical assíntota em com . . Vertical assíntota em com e . . Horizontal assíntota em e em .
Para esboçar um exemplo, vamos montar uma função em duas partes (para e ) combinando termos que geram as assíntotas desejadas.
Passo 2
Para definimos
– garante de ambos os lados de .
– garante .
– Para temos e , logo .
Passo 3
Para definimos
– não altera o sinal infinito em .
– garante .
– Para temos e , logo .
Passo 4
Reunindo em definição por partes:
Essa f tem exatamente as assíntotas verticais em x=0 (ambos os lados vão a +infty) e em x=3 (esquerda a -infty, direita a +infty), e as horizontais em y=1 para xto-infty e y=-1 para xto+infty.]
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico:
Para xll0, a curva se aproxima de y=1.
Ao chegar em x=0, sobe até +infty e reaparece descendo de +infty para valores finitos.
Quando xto3^-, a curva cai para -infty.
Logo após x=3, parte de +infty e decresce passando para valores finitos.
Conforme xto+infty, a curva se aproxima de y=-1.
Resposta
Um exemplo de função que satisfaz todas as condições é