Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça a todas as condições dadas. ,
Passo 1
Temos que construir uma função que satisfaça . , . e , . e .
Logo, precisamos de uma assíntota vertical em , uma assíntota horizontal em , e um ponto no gráfico em .
Passo 2
Uma escolha clássica é usar uma função racional deslocada para ter assíntota horizontal e vertical . Defina
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Passo 3
Verificamos os limites:
Para xto1^-, x-1to0^- e -tfrac1x-1to+infty, então f(x)to+infty.
Para xto1^+, x-1to0^+ e -tfrac1x-1to-infty, então f(x)to-infty.
Para xtopminfty, tfrac1x-1to0, logo f(x)to-2.
Por construção f(0)=0.
Passo 4
O gráfico tem:
Assíntota vertical tracejada em x=1.
Assíntota horizontal tracejada em y=-2.
Dois ramos da hipérbole y=-2-tfrac1x-1:
Para x<1, o ramo parte de yapprox-2 (quando xto-infty), cruza (0,0) e sobe até +infty em xto1^-.
Para x>1, o ramo sai de -infty em xto1^+ e se aproxima de y=-2 por baixo conforme xto+infty.
Resposta
A seguir um esboço esquemático (eixo horizontal, eixo vertical):
Em traços:
– assíntota vertical em ;
– assíntota horizontal em ;
– ramo esquerdo (acima de , cruza e vai a ao chegar em );
– ramo direito (parte de em e sobe até se aproximar de por baixo).