Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
f(0)=0, lim x 1^- f(x)=infty, lim x 1^+ f(x)=-infty, lim x -infty f(x)=-2, lim x infty f(x)=-2

Passo 1

Temos que construir uma função f que satisfaça
1. f(0)=0,
2. limxto1^-f(x)=+infty e limxto1^+f(x)=-infty,
3. limxto-inftyf(x)=-2 e limxto+inftyf(x)=-2.
Logo, precisamos de uma assíntota vertical em x=1, uma assíntota horizontal em y=-2, e um ponto no gráfico em (0,0).

Passo 2

Uma escolha clássica é usar uma função racional deslocada para ter assíntota horizontal y=-2 e vertical x=1. Defina
f(x)= -2 ; - 1x-1, & x neq 0, [6pt] 0, & x=0 ]

Passo 3

Verificamos os limites:
  • Para xto1^-, x-1to0^- e -tfrac1x-1to+infty, então f(x)to+infty.
  • Para xto1^+, x-1to0^+ e -tfrac1x-1to-infty, então f(x)to-infty.
  • Para xtopminfty, tfrac1x-1to0, logo f(x)to-2.
  • Por construção f(0)=0.

Passo 4

O gráfico tem:
  • Assíntota vertical tracejada em x=1.
  • Assíntota horizontal tracejada em y=-2.
  • Dois ramos da hipérbole y=-2-tfrac1x-1:
    • Para x<1, o ramo parte de yapprox-2 (quando xto-infty), cruza (0,0) e sobe até +infty em xto1^-.
    • Para x>1, o ramo sai de -infty em xto1^+ e se aproxima de y=-2 por baixo conforme xto+infty.

Resposta

A seguir um esboço esquemático (eixo horizontal, eixo vertical):
      y
      \uparrow                     .
  \(+\infty\)  |                    /
      |                   /
      |                  /
      |        \(\bullet\)(\(0,0\))   /
      |                /
  y=\(-2\) |---------------/--------\(\to\) x
      |              /
      |             /
      |            /
 -\(+\infty\)   |           /
      \(+\)---\(+\)---\(+\)--\(+\)--\(+\) 
     -\(+\infty\) \(0\) 1 \(+\infty\)
Em traços:
– assíntota vertical em ;
– assíntota horizontal em ;
– ramo esquerdo (acima de , cruza e vai a ao chegar em );
– ramo direito (parte de em e sobe até se aproximar de por baixo).

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