- Encontre os pontos da elipse
mais próximos de
.
- Qual o ponto do plano
que está mais próximo do ponto
?
Passo 1
O enunciado traz dois problemas distintos. No primeiro (44) queremos minimizar a distância de (0,0) até a elipse
, o que é um problema de otimização com restrição: usamos multiplicadores de Lagrange. No segundo (45) buscamos o ponto do plano
mais próximo de
, que é feito por projeção ortogonal no plano.
Passo 2
Para o item 44 definimos a função que queremos minimizar como
(a distância ao quadrado) e a restrição
. Aplicando multiplicadores de Lagrange:
Passo 3
Isso gera o sistema
Passo 4
Da divisão das duas primeiras equações vem
Passo 5
Se
a restrição dá
, gerando
e
.
Se a restrição dá
, levando a
e
. Dessas, as duas primeiras têm distância
(menor que
das outras).
Se
Passo 6
Para o item 45 note que o vetor normal ao plano
é
. A projeção de
no plano é dada por
Passo 7
onde
. Calculamos
e
, logo
Resposta
Para o exercício 44, os pontos da elipse mais próximos de (0,0) são (1,1) e (−1,−1). Para o exercício 45, o ponto do plano mais próximo de (1,1,1) é (0,−1,2).