1. Encontre os pontos da elipse x^2+x y+y^2=3 mais próximos de (0,0).
  2. Qual o ponto do plano x+2 y-z+4=0 que está mais próximo do ponto (1,1,1) ?

Passo 1

O enunciado traz dois problemas distintos. No primeiro (44) queremos minimizar a distância de (0,0) até a elipse x^2+xy+y^2=3, o que é um problema de otimização com restrição: usamos multiplicadores de Lagrange. No segundo (45) buscamos o ponto do plano x+2y-z+4=0 mais próximo de (1,1,1), que é feito por projeção ortogonal no plano.

Passo 2

Para o item 44 definimos a função que queremos minimizar como f(x,y)=x^2+y^2 (a distância ao quadrado) e a restrição g(x,y)=x^2+xy+y^2-3=0. Aplicando multiplicadores de Lagrange:
nabla f(x,y)=(2x,2y), nabla g(x,y)=(2x+y,;x+2y), nabla f=lambdanabla g

Passo 3

Isso gera o sistema
2x=lambda(2x+y), 2y=lambda(x+2y), x^2+xy+y^2=3

Passo 4

Da divisão das duas primeiras equações vem
x/y=(2x+y)/(x+2y)implies x^2-y^2=0implies x=pm y

Passo 5

Se x=y a restrição dá 3x^2=3implies x=pm1, gerando (1,1) e (-1,-1).
Se x=-y a restrição dá x^2=3implies x=pmraiz3, levando a (raiz3,-raiz3) e (-raiz3,raiz3). Dessas, as duas primeiras têm distância raiz2 (menor que raiz6 das outras).

Passo 6

Para o item 45 note que o vetor normal ao plano x+2y-z+4=0 é n=(1,2,-1). A projeção de P0=(1,1,1) no plano é dada por
P=P0-a x0+b y0+c z0+da^2+b^2+c^2(a,b,c),

Passo 7

onde a=1,b=2,c=-1,d=4. Calculamos a x0+b y0+c z0+d=1+2-1+4=6 e |n|^2=1^2+2^2+(-1)^2=6, logo
P=(1,1,1)-66(1,2,-1)=(1,1,1)-(1,2,-1)=(0,-1,2)

Resposta

Para o exercício 44, os pontos da elipse mais próximos de (0,0) são (1,1) e (−1,−1). Para o exercício 45, o ponto do plano mais próximo de (1,1,1) é (0,−1,2).

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