Usando o teste da raiz, estudar a convergência da série sumn=1 3^n(raizn+1)^n.

Passo 1

A série em questão é sumn=1^infty 3^n(raizn+1)^n. O conteúdo aqui é o teste da raiz, e vamos precisar do conceito de L=limsupntoinftyraiz[n]|an|.
O teste da raiz diz o seguinte: se L<1 então a série converge absolutamente; se L>1 diverge; e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Vamos calcular a raiz n-ésima do termo geral:
raiz[n]|tfrac3^n(raizn+1)^n| = 3(raizn+1)^,1 = 3raizn+1

Passo 3

Agora avaliamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty3raizn+1 = 0

Passo 4

Como o valor L=0<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

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