Nos ítens abaixo, ache: (i) os intervalos nos quais f é crescente; (ii) os intervalos nos quais f é decrescente; (iii) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima; (iv) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo; (v) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão e (vi) achar os extremos relativos dos itens b e d.
(a) f(x)=x^{2}-5 x+6

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^{2}-5x+6
e pede: (i) intervalos de crescimento; (ii) decrescimento; (iii) concavidade para cima; (iv) concavidade para baixo; (v) pontos de inflexão; (vi) extremos relativos. Vamos usar derivada primeira para monotonicidade, derivada segunda para concavidade e f’ =0 para extremos.

Passo 2

Calcular a derivada primeira:
f'(x)=2x-5.
Resolver f'(x)=0
2x-5=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{2}.
Analisar o sinal de f'(x):
– Para x<\tfrac{5}{2}, 2x-5<0 \Rightarrow f'(x)<0 \Rightarrow f decrescente.
– Para x>\tfrac{5}{2}, 2x-5>0 \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow f crescente.
Logo:
(i) f crescente em \bigl(\tfrac{5}{2},\infty\bigr).
(ii) f decrescente em \bigl(-\infty,\tfrac{5}{2}\bigr).

Passo 3

Calcular a derivada segunda:
f''(x)=2,
que é positiva para todo x. Logo:
(iii) f é côncava para cima em (-\infty,\infty).
(iv) não há intervalo de concavidade para baixo.

Passo 4

Pontos de inflexão ocorrem onde f'' muda de sinal. Como f''(x)=2 é constante, não há mudança de concavidade, logo
(v) não há pontos de inflexão.

Passo 5

Extremos relativos ocorrem em pontos críticos onde f' se anula e há troca de sinal. Em x=\tfrac{5}{2}, f' vai de negativo para positivo, caracterizando um mínimo relativo. A ordenada é
f\!\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr) =\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^{2}-5\cdot\tfrac{5}{2}+6 =\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6 =-\frac{1}{4}.
Não há máximo relativo.

Resposta

(i) (\tfrac{5}{2},\infty)
(ii) (-\infty,\tfrac{5}{2})
(iii) (-\infty,\infty)
(iv) nenhum
(v) nenhum
(vi) mínimo relativo em x=\tfrac{5}{2} com f(\tfrac{5}{2})=-\tfrac{1}{4}; sem máximos.

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