Encontre os pontos de interseç̧ão com os eixos coordenados e represente no plano cartesiano as elipses:
x^2+16 y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as interseções da curva
x^2 + 16,y^2 = 4
com os eixos x e y, e em seguida representar graficamente essa elipse. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, e vamos usar que, para achar interseções com um eixo, basta anular a outra coordenada.

Passo 2

Interseções com o eixo x ocorrem quando y=0. Substituindo em
x^2 + 16cdot 0^2 = 4
vem
x^2 = 4 Longrightarrow x = pm 2
Logo temos os pontos (2,0) e (-2,0).

Passo 3

Interseções com o eixo y ocorrem quando x=0. Substituindo em
0^2 + 16,y^2 = 4
vem
16,y^2 = 4 Longrightarrow y^2 = tfrac14 Longrightarrow y = pm tfrac12
Logo temos os pontos l(0,tfrac12r) e l(0,-tfrac12r).

Passo 4

Para caracterizar a forma da elipse, escrevemos a equação em forma padrão
x^22^2 + y^2(tfrac12)^2 = 1
Isto mostra que o semieixo maior é a=2 ao longo de x, e o semieixo menor é b=tfrac12 ao longo de y.

Passo 5

Na hora de desenhar no plano cartesiano:
  1. Trace os eixos x e y e marque os pontos (2,0), (-2,0), l(0,tfrac12r) e l(0,-tfrac12r).
  2. Lembre-se que a elipse é simétrica em relação aos dois eixos.
  3. Una esses pontos com uma curva suave fechada, formando a elipse de semieixos 2 e tfrac12.

Resposta

Interseções com os eixos:
(2,0),;(-2,0),;(0,tfrac12),;(0,-tfrac12)
Semieixos: a=2 (horizontal) e b=tfrac12 (vertical).
Representação: elipse centrada na origem, cruzando os eixos nos pontos acima.

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