Obter a equação da elipse de centro na origem, um foco em (0,1) e eixo maior igual a 2 raiz3. Representar esta elipse no plano cartesiano.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse centrada na origem, com um foco em (0,1) e eixo maior de comprimento 2raiz3. Aqui o conteúdo é elipse no seu formato canônico e usaremos as relações entre semi-eixos a,b e a distância focal c:
c^2 = a^2 - b^2,
além de reconhecer se o eixo maior é horizontal ou vertical.

Passo 2

Como um dos focos é (0,1), a distância do centro (0,0) a esse foco é
c = 1
Além disso, o eixo maior tem comprimento 2a = 2raiz3, logo
a = raiz3

Passo 3

O foco está sobre o eixo y, ou seja, o eixo maior é vertical. Nesse caso a forma canônica é
x^2b^2 + y^2a^2 = 1
Usando c^2 = a^2 - b^2, temos
b^2 = a^2 - c^2 = (raiz3)^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2

Passo 4

Substituindo a^2 = 3 e b^2 = 2 na forma canônica, obtemos a equação da elipse:
x^22 + y^23 = 1

Resposta

Equação da elipse:
x^22 + y^23 = 1
Representação no plano:
  • Centro em (0,0).
  • Vértices (pontos extremos do eixo maior) em l(0,raiz3r) e l(0,-raiz3r).
  • Co-vértices (extremos do eixo menor) em l(raiz2,0r) e l(-raiz2,0r).
  • Focos em l(0,1r) e l(0,-1r).

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