Encontre um vetor paralelo e um perpendicular aos seguintes vetores:
u=2 i-j+12 k

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um vetor u = 2,i - j + 12,k e precisa encontrar dois vetores: um que seja paralelo a u e outro que seja perpendicular a u. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como o produto escalar e a ideia de multiplicação por escalar para vetores paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor paralelo a u. Um vetor paralelo é simplesmente uma versão do vetor original multiplicado por algum número (escalar). Isso porque multiplicar um vetor por um escalar não muda a sua direção, apenas o seu tamanho.
Então, se escolhermos um escalar qualquer k, o vetor paralelo será:
v = k cdot u = k cdot (2,i - j + 12,k)
Podemos escolher qualquer valor para k, mas para simplificar, vamos pegar k = 1, que nos dá o próprio vetor u. Mas se quisermos um vetor diferente, podemos escolher outro valor, como k = 2:
v = 2 cdot (2,i - j + 12,k) = 4,i - 2,j + k

Passo 3

Agora, vamos encontrar um vetor perpendicular a u. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de dois vetores a = a1,i + a2,j + a3,k e b = b1,i + b2,j + b3,k é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Queremos encontrar um vetor w = x,i + y,j + z,k tal que:
u cdot w = 0
Substituindo u:
2x - y + 12z = 0
Essa é uma equação com três incógnitas, o que significa que temos infinitas soluções. Vamos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, vamos supor que x = 1 e y = 0:
2(1) - 0 + 12z = 0 Rightarrow 2 + 12z = 0 Rightarrow 12z = -2 Rightarrow z = -4
Então, um vetor perpendicular é:
w = 1,i + 0,j - 4,k

Resposta

Um vetor paralelo a u é v = 4,i - 2,j + k e um vetor perpendicular a u é w = i - 4,k.

Exercícios relacionados