E aí! O que o exercício pede é encontrar os pontos onde cada função definida por partes não é contínua. Matéria envolvida: continuidade de funções e limites laterais. Pra resolver a gente vai precisar da definição de limite lateral (pela esquerda e pela direita) e da condição de continuidade num ponto:
– existe,
– existe,
– esses dois limites coincidem e ainda valem .
Passo 2
Teoria rapidinha: uma função é contínua num ponto se .
Se faltar alguma dessas igualdades ou algum limite não existir, rola descontinuidade em . Como cada “parte” das nossas funções é polinomial, exponencial ou cosseno (todas contínuas nos seus domínios), os únicos candidatos a descontinuidade são os pontos de transição entre as partes (os “cortes” dos pedaços).
Passo 3
Item (a):
Possíveis pontos de descontinuidade: x=0 e x=2.
Em x=0: limxto0^-f(x)=limxto0^-(1+x^2)=1 limxto0^+f(x)=limxto0^+(2-x)=2
Como 1neq2, já deu: descontinuidade em x=0.
Em x=2: limxto2^-f(x)=limxto2^-(2-x)=0 limxto2^+f(x)=limxto2^+(x-2)^2=0
E f(2)=2-2=0. Limites iguais a f(2), então é contínua em 2.
Passo 4
Item (b):
f(x)= x+2, & x<=0, e^x, & 0<x<=1, 2-x, & x>1
Candidatos: x=0 e x=1.
Em x=0: limxto0^-(x+2)=2, limxto0^+e^x=1.
Como 2neq1, descontinuidade em 0.
Em x=1: limxto1^-e^x=e, limxto1^+(2-x)=1.
Como eneq1, descontinuidade em 1.
Passo 5
Item (c):
f(x)= cos x, & x<0, 0, & x=0, 1-x^2, & x>0
Só precisa checar x=0:
limxto0^-cos x=cos0=1, limxto0^+(1-x^2)=1.
Os limites laterais valem 1, mas f(0)=0. Logo lim f(x)neq f(0), descontinuidade em 0.