Encontre os pontos nos quais

Passo 1

E aí! O que o exercício pede é encontrar os pontos onde cada função definida por partes não é contínua. Matéria envolvida: continuidade de funções e limites laterais. Pra resolver a gente vai precisar da definição de limite lateral (pela esquerda e pela direita) e da condição de continuidade num ponto:
limxto a^-f(x) existe,
limxto a^+f(x) existe,
– esses dois limites coincidem e ainda valem f(a).

Passo 2

Teoria rapidinha: uma função f é contínua num ponto a se
limxto a^-f(x)=limxto a^+f(x)=f(a).
Se faltar alguma dessas igualdades ou algum limite não existir, rola descontinuidade em a. Como cada “parte” das nossas funções é polinomial, exponencial ou cosseno (todas contínuas nos seus domínios), os únicos candidatos a descontinuidade são os pontos de transição entre as partes (os “cortes” dos pedaços).

Passo 3

Item (a):
f(x)= 1+x^2, & x<=0, 2-x, & 0<x<=2, (x-2)^2, & x>2
Possíveis pontos de descontinuidade: x=0 e x=2.
  • Em x=0:
    limxto0^-f(x)=limxto0^-(1+x^2)=1
    limxto0^+f(x)=limxto0^+(2-x)=2
    Como 1neq2, já deu: descontinuidade em x=0.
  • Em x=2:
    limxto2^-f(x)=limxto2^-(2-x)=0
    limxto2^+f(x)=limxto2^+(x-2)^2=0
    E f(2)=2-2=0. Limites iguais a f(2), então é contínua em 2.

Passo 4

Item (b):
f(x)= x+2, & x<=0, e^x, & 0<x<=1, 2-x, & x>1
Candidatos: x=0 e x=1.
  • Em x=0:
    limxto0^-(x+2)=2,
    limxto0^+e^x=1.
    Como 2neq1, descontinuidade em 0.
  • Em x=1:
    limxto1^-e^x=e,
    limxto1^+(2-x)=1.
    Como eneq1, descontinuidade em 1.

Passo 5

Item (c):
f(x)= cos x, & x<0, 0, & x=0, 1-x^2, & x>0
Só precisa checar x=0:
  • limxto0^-cos x=cos0=1,
    limxto0^+(1-x^2)=1.
    Os limites laterais valem 1, mas f(0)=0. Logo lim f(x)neq f(0), descontinuidade em 0.

Resposta

(a) x=0
(b) x=0 e x=1
(c) x=0

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