Resolva as equações
2^2 x+2-6^x-2 cdot 3^2 x+2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
2^2x+2-6^x-2cdot3^2x+2=0
O conteúdo aqui é manipular potências e usar substituição para transformar numa equação quadrática em termos de 2^x e 3^x.

Passo 2

Usamos propriedades de potências para reescrever cada termo:
2^2x+2=2^2xcdot2^2=4cdot(2^2)^x=4cdot4^x,
6^x=(2cdot3)^x=2^xcdot3^x,
3^2x+2=3^2xcdot3^2=9cdot(3^2)^x=9cdot9^x
Logo a equação vira
4cdot4^x ;-;2^x3^x ;-;2cdot9cdot9^x=0 Longrightarrow 4cdot4^x -2^x3^x-18cdot9^x=0

Passo 3

Definimos
a = 2^x, b = 3^x,
então 4^x=a^2 e 9^x=b^2. Substituindo na equação:
4a^2 - a,b - 18b^2 = 0

Passo 4

Tratamos isso como equação quadrática em a:
4a^2 - b,a - 18b^2=0
Pela fórmula de Bhaskara,
a = b pm raizb^2 + 4cdot4cdot18,b^22cdot4 = b pm raiz289,b^28 = b pm 17b8
Assim as duas raízes são
a1 = 18b8 = 94b, a2 = -16b8 = -2b

Passo 5

Caso a1:
2^x = 94,3^x ;Longrightarrow; 2^x3^x = l(23r)^x = 94 = l(32r)^2 = l(23r)^-2 ;Longrightarrow;x=-2
Caso a2:
2^x = -2,3^x
não admite solução real pois o lado esquerdo é positivo e o direito negativo.

Resposta

x=-2

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