Use a regra de L’Hospital (quando possível) para calcular os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{10+\sin (x)}{x}

Passo 1

O problema pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{10+\sin(x)}{x}.
Informações dadas no enunciado:
\text{numerador} = 10+\sin(x),\qquad \text{denominador} = x,
e o ponto de interesse é x\to\infty.

Passo 2

Vamos checar se a regra de L’Hospital pode ser aplicada. A regra de L’Hospital exige que a expressão esteja numa forma indeterminada do tipo \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}. Aqui:
  • \sin(x) oscila entre -1 e 1, então 10+\sin(x) fica entre 9 e 11; portanto o numerador não tende a 0 nem a \infty quando x\to\infty.
  • O denominador x\to\infty.
Logo a forma é algo como \tfrac{\text{bounded}}{\infty}, que não é uma forma indeterminada do tipo exigido por L’Hospital. Portanto, a regra de L’Hospital não é aplicável aqui. Vou explicar um método que funciona.

Passo 3

Usamos a desigualdade conhecida para o seno:
-1\le \sin(x)\le 1.
Somando 10 em todos os membros obtemos
9 \le 10+\sin(x) \le 11.
Como estamos analisando x\to\infty, para x>0 podemos dividir a desigualdade inteira por x sem inverter sinais, obtendo
\frac{9}{x} \le \frac{10+\sin(x)}{x} \le \frac{11}{x}.

Passo 4

Calculemos os limites das funções que aparecem nas bordas:
\lim_{x\to\infty}\frac{9}{x}=0, \qquad \lim_{x\to\infty}\frac{11}{x}=0.
Isso é fácil: para qualquer constante c fixo, \lim_{x\to\infty} \tfrac{c}{x}=0 porque x cresce sem limite enquanto c permanece fixo.

Passo 5

Pela desigualdade obtida no Passo 3 e pelos limites das bordas no Passo 4, aplicamos o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Como \tfrac{9}{x} e \tfrac{11}{x} tendem ambas a 0 e
\frac{9}{x} \le \frac{10+\sin(x)}{x} \le \frac{11}{x}
para x suficientemente grande, concluímos que
\lim_{x\to\infty}\frac{10+\sin(x)}{x}=0.

Resposta

\;0\;

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