Use a regra de L’Hospital (quando possível) para calcular os limites abaixo:
Passo 1
O problema pede o cálculo do limite
Informações dadas no enunciado:
e o ponto de interesse é
.
Passo 2
Vamos checar se a regra de L’Hospital pode ser aplicada. A regra de L’Hospital exige que a expressão esteja numa forma indeterminada do tipo
ou
. Aqui:
-
oscila entre e , então fica entre e ; portanto o numerador não tende a nem a quando . - O denominador
.
Logo a forma é algo como
, que não é uma forma indeterminada do tipo exigido por L’Hospital. Portanto, a regra de L’Hospital não é aplicável aqui. Vou explicar um método que funciona.
Passo 3
Usamos a desigualdade conhecida para o seno:
Somando
em todos os membros obtemos
Como estamos analisando
, para
podemos dividir a desigualdade inteira por
sem inverter sinais, obtendo
Passo 4
Calculemos os limites das funções que aparecem nas bordas:
Isso é fácil: para qualquer constante
fixo,
porque
cresce sem limite enquanto
permanece fixo.
Passo 5
Pela desigualdade obtida no Passo 3 e pelos limites das bordas no Passo 4, aplicamos o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Como
e
tendem ambas a
e
para
suficientemente grande, concluímos que