Encontre os pontos de máximo e de mínimo (bem como os valores máximo e mínimo) das funções dadas, nos intervalos especificados:
f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}, x \in[-3,3]

Passo 1

O enunciado pede os pontos de máximo e mínimo (e seus respectivos valores) da função
f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}
no intervalo [-3,3]. O conteúdo aqui é encontrar pontos críticos via derivada e comparar valores em pontos críticos e em extremidades.

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra do quociente: se f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=x e v(x)=1+x^{2}. Assim
u'(x)=1,\quad v'(x)=2x
e
f'(x) =\frac{1\cdot(1+x^{2})-x\cdot(2x)}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{1+x^{2}-2x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{1 - x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 ou onde f' não existe. O denominador nunca zera para x\in\mathbb{R}, então resolvemos
1 - x^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
Portanto os pontos críticos em [-3,3] são x=-1 e x=1.

Passo 4

Agora avaliamos f nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo x=-3 e x=3:
f(-3)=\frac{-3}{1+9}=-\frac{3}{10}=-0,3, \quad f(-1)=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2}=-0,5,
f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}=0,5, \quad f(3)=\frac{3}{1+9}=\frac{3}{10}=0,3.

Passo 5

Comparando os quatro valores:
-\tfrac12 = -0,5 < -0,3 < 0,3 < 0,5 = \tfrac12.
Logo o valor mínimo absoluto ocorre em x=-1 com f(-1)=-\tfrac12 e o valor máximo absoluto ocorre em x=1 com f(1)=\tfrac12.

Resposta

O mínimo absoluto é em x=-1 com valor f(-1)=-\tfrac12.
O máximo absoluto é em x=1 com valor f(1)=\tfrac12.

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