Encontre os pontos de máximo e de mínimo (bem como os valores máximo e mínimo) das funções dadas, nos intervalos especificados:
f(x)=x e^{-2 x}, x \in[0,4]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e de mínimo da função
f(x)=x e^{-2x},\quad x\in[0,4].
O que vamos usar: cálculo de derivada para achar os pontos críticos, classificação via segunda derivada e comparação dos valores em pontos críticos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Para calcular a derivada usamos a regra do produto com u(x)=x e v(x)=e^{-2x}.
Como
u'(x)=1,
v'(x)=-2e^{-2x},
temos
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=e^{-2x}+x(-2e^{-2x})=e^{-2x}(1-2x).

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem f'(x)=0. Como e^{-2x}>0 para todo x, basta resolver
1-2x=0\quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac12.
Além desse ponto, consideramos também as extremidades do intervalo, x=0 e x=4.

Passo 4

Para classificar usamos a segunda derivada. Derivando
f'(x)=e^{-2x}(1-2x)
por produto e cadeia, obtemos
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl[e^{-2x}(1-2x)\bigr] =-2e^{-2x}(1-2x)+e^{-2x}(-2) =4e^{-2x}(x-1).
Logo
f''\bigl(\tfrac12\bigr)=4e^{-1}\bigl(\tfrac12-1\bigr)=-2e^{-1}<0,
o que indica que x=\tfrac12 é ponto de máximo local (e será global no intervalo).

Passo 5

Agora avaliamos f em x=0, x=\tfrac12 e x=4:
f(0)=0,
f\bigl(\tfrac12\bigr)=\tfrac12e^{-1},
f(4)=4e^{-8}.
Como
0<4e^{-8}<\tfrac12e^{-1},
o menor valor é 0 em x=0 e o maior valor é \tfrac12e^{-1} em x=\tfrac12.

Resposta

O valor mínimo de f no intervalo [0,4] é
f(0)=0,
ocorrendo em x=0.
O valor máximo de f no intervalo [0,4] é
f\bigl(\tfrac12\bigr)=\tfrac12e^{-1},
ocorrendo em x=\tfrac12.

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