Encontre os pontos de máximo e de mínimo (bem como os valores máximo e mínimo) das funções dadas, nos intervalos especificados:
f(x)=e^{-2 x}, x \in[-1,2]

Passo 1

O enunciado pede os pontos de máximo e mínimo (e seus valores) da função
f(x)=e^{-2x}
no intervalo fechado [-1,2].
Conteúdo: uso de derivadas para determinar monotonicidade e extremos em intervalo fechado.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como a derivada de e^{u(x)} é u'(x)e^{u(x)}, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}\bigr) = -2\,e^{-2x}.

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolveríamos f'(x)=0:
-2\,e^{-2x}=0.
Como e^{-2x}>0 para todo x, não há solução. Além disso, f'(x)=-2e^{-2x}<0 em todo o domínio, logo f é estritamente decrescente em [-1,2].

Passo 4

Em função estritamente decrescente num intervalo fechado, o valor máximo ocorre em x=-1 e o valor mínimo em x=2. Calculamos:
f(-1)=e^{-2(-1)}=e^2,
f(2)=e^{-2\cdot2}=e^{-4}.

Resposta

O máximo absoluto é f(-1)=e^2 em x=-1.
O mínimo absoluto é f(2)=e^{-4} em x=2.

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