Encontre os pontos de máximo e de mínimo (bem como os valores máximo e mínimo) das funções dadas, nos intervalos especificados:
f(x)=x e^{-x}, x \in[0,5]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos e valores de máximo e mínimo de
f(x) = x e^{-x}
no intervalo [0,5]. O conteúdo principal é cálculo de derivada para achar pontos críticos e, em seguida, comparar os valores de f nesses pontos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando a regra do produto. Seja
u(x) = x \quad\text{e}\quad v(x)=e^{-x}.
Então
u'(x) = 1, \quad v'(x) = -e^{-x},
e
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 1\cdot e^{-x} + x\cdot\bigl(-e^{-x}\bigr) = e^{-x} - x\,e^{-x}.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad e^{-x}(1 - x) = 0.
Como e^{-x}\neq0 para todo x, concluímos
1 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Passo 4

Agora avaliamos f nos extremos do intervalo e no ponto crítico:
f(0) = 0\cdot e^{0} = 0,
f(1) = 1\cdot e^{-1} = \frac{1}{e},
f(5) = 5\cdot e^{-5}.

Passo 5

Comparamos os três valores:
f(0) = 0,\quad f(1) = \frac{1}{e}\approx0,3679,\quad f(5) = 5e^{-5}\approx0,0337.
O maior valor é f(1)=1/e e o menor é f(0)=0.

Resposta

Ocorre máximo em x=1 com \displaystyle f(1)=\tfrac{1}{e}, e mínimo em x=0 com f(0)=0.

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