Encontre os pontos de máximo e mínimo da função
F(x, y)=y+x^3+2 y^2 x1+y^2
sendo o domínio de F o disco fechado D=(x, y) ; x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de otimização! A gente precisa achar os pontos de máximo e mínimo da função
F(x, y) = y + x^3 + 2 y^2 x1 + y^2
dentro do disco fechado definido por x^2 + y^2 <= 1 . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e também analisar os limites do domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de F em relação a x e y . Essas derivadas nos vão ajudar a identificar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, os candidatos a máximos e mínimos.
A derivada parcial em relação a x é:
Fx = partial Fpartial x = 3x^2 + 2y^21 + y^2
A derivada parcial em relação a y é um pouco mais trabalhosa:
Fy = partial Fpartial y = 1 + 4xy1 + y^2 - (x^3 + 2y^2x) cdot 2y(1 + y^2)^2
Simplificando essa expressão, podemos encontrar os pontos onde Fx = 0 e Fy = 0 .

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações Fx = 0 e Fy = 0 :
  1. De Fx = 0 :
3x^2 + 2y^21 + y^2 = 0 Rightarrow 3x^2 + 2y^2 = 0
Como x^2 e y^2 são sempre positivos ou zero, a única solução é x = 0 e y = 0 .
  1. Verificando em Fy :
    Substituindo x = 0 e y = 0 na expressão de Fy :
Fy = 1 + 0 - 0 = 1 neq 0
Então, não há pontos críticos internos no domínio D .

Passo 4

Como não temos pontos críticos internos, precisamos analisar a função na fronteira do disco, onde x^2 + y^2 = 1 .
Para isso, podemos parametrizar a fronteira usando trigonometria. Vamos definir:
x = cos theta y = sin theta
com theta variando de 0 a 2pi .
Substituindo na função F :
F(cos theta, sin theta) = sin theta + cos^3 theta + 2 sin^2 theta cos theta1 + sin^2 theta
Devemos então encontrar o valor de theta que maximiza e minimiza essa expressão.

Passo 5

Para simplificar, vamos calcular F para alguns valores críticos de theta :
  1. theta = 0 :
F(1, 0) = 0 + 1 + 01 + 0 = 1
  1. theta = pi2 :
F(0, 1) = 1 + 0 + 2(1)^2(0)1 + 1 = 1
  1. theta = pi :
F(-1, 0) = 0 + (-1)^3 + 01 + 0 = -1
  1. theta = 3pi2 :
F(0, -1) = -1 + 0 + 2(-1)^2(0)1 + 1 = -1
Também podemos verificar outros valores de theta , mas já percebemos que os valores máximos são 1 e mínimos são -1.

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo da função F(x, y) no domínio dado são:
  • Máximo: (1, 0) e (0, 1) com F = 1
  • Mínimo: (-1, 0) e (0, -1) com F = -1

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