Encontre os pontos de máximo e mínimo da função
sendo o domínio de
o disco fechado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de otimização! A gente precisa achar os pontos de máximo e mínimo da função
dentro do disco fechado definido por
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e também analisar os limites do domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Essas derivadas nos vão ajudar a identificar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, os candidatos a máximos e mínimos.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é um pouco mais trabalhosa:
Simplificando essa expressão, podemos encontrar os pontos onde
e
.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações
e
:
- De
:
Como
e
são sempre positivos ou zero, a única solução é
e
.
- Verificando em
:
Substituindoe na expressão de :
Então, não há pontos críticos internos no domínio
.
Passo 4
Como não temos pontos críticos internos, precisamos analisar a função na fronteira do disco, onde
.
Para isso, podemos parametrizar a fronteira usando trigonometria. Vamos definir:
com
variando de
a
.
Substituindo na função
:
Devemos então encontrar o valor de
que maximiza e minimiza essa expressão.
Passo 5
Para simplificar, vamos calcular
para alguns valores críticos de
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Também podemos verificar outros valores de
, mas já percebemos que os valores máximos são 1 e mínimos são -1.
Resposta
Os pontos de máximo e mínimo da função
no domínio dado são:
- Máximo:
e com - Mínimo:
e com