Nos Exercícios de I a 12, use os resultados do exercício indicado nos Exercícios 19.1 para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Então calcule a integral de linha, aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.3e usando a função potencial encontrada no exercício indicado. Em cada exercício, C é uma curva qualquer seccionalmente suave, ligando o ponto
ao ponto
.
é
e
é
; Exercicio 23.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
ao longo de qualquer curva
de
até
, e afirma que, pelo Exercício 19.1, o campo é conservativo, de modo que podemos aplicar o Teorema 19.3.3e (fundamental para gradientes) usando a função potencial.
Passo 2
Para mostrar que o campo
com
é conservativo, verificamos que
logo
em
, que é simplesmente conexo. Assim, existe potencial
com
.
Passo 3
Construímos
integrando
em relação a
:
Para determinar
, impomos
:
Passo 4
Pelo Teorema fundamental para campos conservativos,
Calculando:
Logo a integral vale
.