Nos Exercícios de I a 12, use os resultados do exercício indicado nos Exercícios 19.1 para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Então calcule a integral de linha, aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.3e usando a função potencial encontrada no exercício indicado. Em cada exercício, C é uma curva qualquer seccionalmente suave, ligando o ponto A ao ponto B.
integralC e^x sen y d x+e^x cos y d y ; A é (0,0) e B é (2, 12 pi); Exercicio 23.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralC e^xsin y,dx ;+;e^xcos y,dy
ao longo de qualquer curva C de (0,0) até l(2,tfracpi2r), e afirma que, pelo Exercício 19.1, o campo é conservativo, de modo que podemos aplicar o Teorema 19.3.3e (fundamental para gradientes) usando a função potencial.

Passo 2

Para mostrar que o campo l(P,Qr) com
P(x,y)=e^xsin y, Q(x,y)=e^xcos y
é conservativo, verificamos que
partial Ppartial y =e^xcos y e partial Qpartial x =e^xcos y,
logo partial P/partial y=partial Q/partial x em R^2, que é simplesmente conexo. Assim, existe potencial f com nabla f=(P,Q).

Passo 3

Construímos f(x,y) integrando P em relação a x:
f(x,y) =integral e^xsin y,dx =e^xsin y + g(y)
Para determinar g(y), impomos fy=Q:
fy(x,y) =e^xcos y + g'(y) =e^xcos y Longrightarrow g'(y)=0
implies g(y)=C, que podemos tomar C=0. Portanto
f(x,y)=e^xsin y

Passo 4

Pelo Teorema fundamental para campos conservativos,
integralCP,dx+Q,dy =fl(2,tfracpi2r)-f(0,0)
Calculando:
fl(2,tfracpi2r) =e^2sin!l(tfracpi2r) =e^2, f(0,0)=e^0sin(0)=0
Logo a integral vale e^2-0=e^2.

Resposta

e^2

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