Nos Exercícios de I a 12, use os resultados do exercício indicado nos Exercícios 19.1 para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Então calcule a integral de linha, aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.3e usando a função potencial encontrada no exercício indicado. Em cada exercício, C é uma curva qualquer seccionalmente suave, ligando o ponto A ao ponto B.
integralC(2 x y^2-y^3) d x+(2 x^2 y-3 x y^2+2) d y ; A é (-3,-1) e B é (1, 2); Exercício 25.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCl(2xy^2-y^3r),dx ;+;l(2x^2y-3xy^2+2r),dy
onde C é qualquer curva suave ligando A=(-3,-1) a B=(1,2). O objetivo é mostrar que o campo F=(P,Q) com
P(x,y)=2xy^2-y^3, Q(x,y)=2x^2y-3xy^2+2
é conservativo (portanto a integral independe do caminho) e depois calcular a integral via função potencial.

Passo 2

Para mostrar que é conservativo, verificamos se
Como num domínio simplesmente conexo ( inteiro), é conservativo.

Passo 3

Buscamos uma função potencial f(x,y) tal que
partial fpartial x=P(x,y), partial fpartial y=Q(x,y)
Integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral(2xy^2-y^3),dx =x^2y^2-xy^3+h(y)
Agora impomos partial f/partial y=Q:
partial fpartial y =2x^2y-3xy^2+h'(y)stackrel!=2x^2y-3xy^2+2 ;Longrightarrow;h'(y)=2 ;Longrightarrow;h(y)=2y
Logo, podemos tomar
f(x,y)=x^2y^2-xy^3+2y

Passo 4

Pela Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
integralC Fcdot d r =fl(Br)-fl(Ar)
Calculamos
f(1,2)=1^2cdot2^2-1cdot2^3+2cdot2 =4-8+4=0,
f(-3,-1)=(-3)^2cdot(-1)^2-(-3)cdot(-1)^3+2cdot(-1) =9-3-2=4
Portanto
integralCl(P,dx+Q,dyr) =f(1,2)-f(-3,-1) =0-4=-4

Resposta

-4

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