Nos Exercícios de I a 12, use os resultados do exercício indicado nos Exercícios 19.1 para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Então calcule a integral de linha, aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.3e usando a função potencial encontrada no exercício indicado. Em cada exercício, C é uma curva qualquer seccionalmente suave, ligando o ponto
ao ponto
.
é
e
é (1, 2); Exercício 25.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é qualquer curva suave ligando
a
. O objetivo é mostrar que o campo
com
é conservativo (portanto a integral independe do caminho) e depois calcular a integral via função potencial.
Passo 2
Para mostrar que
é conservativo, verificamos se
Como
num domínio simplesmente conexo ( inteiro),
é conservativo.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Agora impomos
:
Logo, podemos tomar
Passo 4
Pela Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
Calculamos
Portanto