Qual o ponto da esfera x^2+y^2+z^2=88 mais próximo do ponto (3,3,2) ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto Q=(x,y,z) sobre a esfera
x^2+y^2+z^2=88
que esteja mais próximo do ponto P=(3,3,2).
Aqui usamos geometria em R^3: por simetria, o candidato a minimizar a distância de P à esfera fica na reta que une o centro da esfera (origem) a P.

Passo 2

Parametrizamos a reta que vai da origem a P por
Q(t) = (3t,;3t,;2t),
com tinR. Impor que Q(t) pertença à esfera equivale a
|Q(t)|^2=(3t)^2+(3t)^2+(2t)^2=88
ou seja
9t^2+9t^2+4t^2=22,t^2=88 Longrightarrow t^2=4 Longrightarrow t=pm 2

Passo 3

Precisamos escolher entre t=2 e t=-2 aquele que minimiza a distância de Q(t) a P. Note que
d(t)=|Q(t)-P| =|(3t-3,;3t-3,;2t-2)| =l|t-1r|;|(3,3,2)| =l|t-1r|raiz22
Para t=2 temos l|2-1r|=1 e d(2)=raiz22,
para t=-2 temos l|-2-1r|=3 e d(-2)=3raiz22.
Logo o mínimo ocorre em t=2.

Resposta

O ponto da esfera mais próximo de (3,3,2) é
Q(2) = (6,;6,;4)

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