Nos itens abaixo, determine:
- os números críticos;
- os intervalos nos quais fé crescente;
- os intervalos nos quais fé decrescente;
- os intervalos abertos nos quais f é côncavo para cima;
- os intervalos abertos nos quais fé côncavo para baixo;
- as coordenadas
de todos os pontos de inflexão
- achar os extremos relativos ( máximos e mínimos)
Passo 1
Resumindo, temos a função
e queremos determinar:
- números críticos;
- intervalos de crescimento;
- intervalos de decrescimento;
- intervalos abertos de concavidade para cima;
- intervalos abertos de concavidade para baixo;
- abscissas dos pontos de inflexão;
- extremos relativos.
Tudo isso usando derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira para encontrar números críticos e monotonicidade:
Os números críticos são as soluções de
, ou seja
Passo 3
Para monotonicidade, observamos
para todo
, sendo zero somente em
.
- Em
, , logo é crescente. - Em
, , logo continua crescente.
Não há intervalo em que, portanto não há decrescimento.
Passo 4
Calculamos a derivada segunda para concavidade:
Resolvendo
dá
- Para
, , então é côncava para baixo em . - Para
, , então é côncava para cima em .
Passo 5
O ponto
é onde
muda de sinal, caracterizando um ponto de inflexão. A abscissa dele é
. Se quisermos a ordenada,
logo o ponto de inflexão é
.
Passo 6
Para extremos relativos, examinamos o sinal de
em torno de
. Como
é positivo antes e depois de
(não muda de sinal), não existe nem máximo nem mínimo relativo em
. Portanto, a função não tem extremos relativos.
Resposta
- Número crítico:
. -
cresce em e em . -
não decresce em nenhum intervalo. -
é côncava para cima em . -
é côncava para baixo em . - Abscissa do ponto de inflexão:
(ponto de inflexão em ). - Não há extremos relativos.