Nos itens abaixo, determine:
  1. os números críticos;
  2. os intervalos nos quais fé crescente;
  3. os intervalos nos quais fé decrescente;
  4. os intervalos abertos nos quais f é côncavo para cima;
  5. os intervalos abertos nos quais fé côncavo para baixo;
  6. as coordenadas x de todos os pontos de inflexão
  7. achar os extremos relativos ( máximos e mínimos)
    f(x)=x^3-6 x^2+12 x

Passo 1

Resumindo, temos a função
f(x)=x^3-6x^2+12x
e queremos determinar:
  1. números críticos;
  2. intervalos de crescimento;
  3. intervalos de decrescimento;
  4. intervalos abertos de concavidade para cima;
  5. intervalos abertos de concavidade para baixo;
  6. abscissas dos pontos de inflexão;
  7. extremos relativos.
    Tudo isso usando derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para encontrar números críticos e monotonicidade:
f'(x)=ddxl(x^3-6x^2+12xr) =3x^2-12x+12 =3(x^2-4x+4) =3(x-2)^2
Os números críticos são as soluções de f'(x)=0, ou seja
3(x-2)^2=0 Longrightarrow x=2

Passo 3

Para monotonicidade, observamos f'(x)=3(x-2)^2>=0 para todo x, sendo zero somente em x=2.
  • Em (-infty,2), f'(x)>0, logo f é crescente.
  • Em (2,infty), f'(x)>0, logo f continua crescente.
    Não há intervalo em que f'(x)<0, portanto não há decrescimento.

Passo 4

Calculamos a derivada segunda para concavidade:
f''(x)=ddxl(3x^2-12x+12r) =6x-12
Resolvendo f''(x)=0
6x-12=0 Longrightarrow x=2
  • Para x<2, f''(x)=6x-12<0, então f é côncava para baixo em (-infty,2).
  • Para x>2, f''(x)=6x-12>0, então f é côncava para cima em (2,infty).

Passo 5

O ponto x=2 é onde f'' muda de sinal, caracterizando um ponto de inflexão. A abscissa dele é x=2. Se quisermos a ordenada,
f(2)=2^3-6cdot2^2+12cdot2 =8-24+24=8,
logo o ponto de inflexão é (2,8).

Passo 6

Para extremos relativos, examinamos o sinal de f' em torno de x=2. Como f' é positivo antes e depois de 2 (não muda de sinal), não existe nem máximo nem mínimo relativo em x=2. Portanto, a função não tem extremos relativos.

Resposta

  1. Número crítico: x=2.
  2. f cresce em (-infty,2) e em (2,infty).
  3. f não decresce em nenhum intervalo.
  4. f é côncava para cima em (2,infty).
  5. f é côncava para baixo em (-infty,2).
  6. Abscissa do ponto de inflexão: x=2 (ponto de inflexão em (2,8)).
  7. Não há extremos relativos.

Exercícios relacionados