Resolva por integração por frações parciais a seguinte integral:
\int \frac{2 x+7}{x^{2}+2 x+1} d x .

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{2 x+7}{x^{2}+2 x+1}\,dx.
Informações fornecidas:
  • O numerador é (2x+7).
  • O denominador é x^{2}+2x+1.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional.

Passo 2

Primeiro, observar a forma do denominador e fatorá‑lo, porque isso orienta a decomposição:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Como o denominador é uma potência de um fator linear repetido (x+1)^{2}, a decomposição em frações parciais (forma padrão para fator linear repetido) será
\frac{2x+7}{(x+1)^{2}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}},
onde A e B são constantes a determinar. Explicando por que: para um fator (x+a)^{2} devemos incluir termos até a potência 2 no numerador das frações parciais, ou seja, termos com (x+a)^{-1} e (x+a)^{-2}.

Passo 3

Agora determinamos A e B. Multiplicando ambos os lados por (x+1)^{2} obtemos a igualdade polinomial
2x+7 = A(x+1)+B.
Expandindo o lado direito:
2x+7 = A x + A + B.
Comparando coeficientes em ambos os lados (coeficiente de x e termo constante):
  • Coeficiente de x: 2 = A. Logo \;A=2.
  • Termo constante: 7 = A + B = 2 + B. Logo \;B=5.
Observação alternativa (mais rápida em prova): colocando x=-1 na igualdade original 2x+7 = A(x+1)+B 5=B diretamente, e então o coeficiente de x A=2.

Passo 4

Substituindo A e B na decomposição obtemos
\frac{2x+7}{(x+1)^{2}}=\frac{2}{x+1}+\frac{5}{(x+1)^{2}}.
Confirmando rapidamente: somando frações dá \dfrac{2(x+1)+5}{(x+1)^{2}}=\dfrac{2x+7}{(x+1)^{2}}, que coincide com o integrando original.

Passo 5

Integramos termo a termo. Lembrando das regras básicas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|+C. (integração da função racional 1/(x+1))
  • \displaystyle \int (x+1)^{-2}\,dx=\frac{(x+1)^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x+1}+C. (regra de potência: \int u^{n}du = u^{n+1}/(n+1) para n\neq-1; aqui u=x+1 e n=-2)
Aplicando:
\int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|.
\int \frac{5}{(x+1)^{2}}\,dx = 5\int (x+1)^{-2}\,dx = 5\left(-\frac{1}{x+1}\right) = -\frac{5}{x+1}.

Passo 6

Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração C, a antiderivada geral é
2\ln|x+1|-\frac{5}{x+1}+C.

Resposta

2\ln|x+1|-\dfrac{5}{x+1}+C

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