Resolva por integração por frações parciais a seguinte integral:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional.
Passo 2
Primeiro, observar a forma do denominador e fatorá‑lo, porque isso orienta a decomposição:
Como o denominador é uma potência de um fator linear repetido
, a decomposição em frações parciais (forma padrão para fator linear repetido) será
onde
e
são constantes a determinar. Explicando por que: para um fator
devemos incluir termos até a potência 2 no numerador das frações parciais, ou seja, termos com
e
.
Passo 3
Agora determinamos
e
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a igualdade polinomial
Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes em ambos os lados (coeficiente de
e termo constante):
- Coeficiente de
: . Logo . - Termo constante:
. Logo .
Observação alternativa (mais rápida em prova): colocando
na igualdade original
dá
diretamente, e então o coeficiente de
dá
.
Passo 4
Substituindo
e
na decomposição obtemos
Confirmando rapidamente: somando frações dá
, que coincide com o integrando original.
Passo 5
Integramos termo a termo. Lembrando das regras básicas:
-
(integração da função racional ) -
(regra de potência: para ; aqui e )
Aplicando:
Passo 6
Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração
, a antiderivada geral é