Trace a curva com equações paramétricas
Explique a aparência da curva, mostrando que ela está em um cone.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede para traçá-la e mostrar que ela está num cone. Vamos usar relações entre
e interpretar o papel de
na forma da curva.
Passo 2
Calculemos
Por outro lado,
, logo
Passo 3
Das expressões acima segue
que é exatamente a equação de um cone com vértice na origem e aberto para
. Como
varia entre
e
, estamos sobre a parte superior desse cone (a “nappe” de cima).
Passo 4
Para compreender a aparência, observe que a distância radial ao eixo
é
que oscila entre
e
conforme
varia. O ângulo azimutal em torno do eixo
é simplesmente
, que vai de
a
, descrevendo uma volta completa.
Além disso, completa
oscilações quando
vai de
a
. Isso faz com que a curva comece no ponto
, então aproxime-se do vértice do cone (
), afaste-se, aproxime-se de novo, e assim por diante, num total de 16 “pétalas” ou “espiras” em formato de raio que tocam o vértice.
Além disso,
Resposta
A curva está contida na parte superior do cone
e, ao percorrer
de
a
, faz uma volta em torno do eixo
com 16 oscilações radiais, gerando 16 pétalas que tocam o vértice do cone.