Trace a curva com equações paramétricas
& x=(1+cos 16 t) cos t & y=(1+cos 16 t) sen t & z=1+cos 16 t
Explique a aparência da curva, mostrando que ela está em um cone.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = l(1+cos 16tr)cos t, y = l(1+cos 16tr)sin t, z = 1+cos 16t
e pede para traçá-la e mostrar que ela está num cone. Vamos usar relações entre x,y,z e interpretar o papel de cos16t na forma da curva.

Passo 2

Calculemos
x^2 + y^2 = l(1+cos16tr)^2l(cos^2 t + sin^2 tr) = l(1+cos16tr)^2
Por outro lado, z=1+cos16t, logo
z^2 = l(1+cos16tr)^2

Passo 3

Das expressões acima segue
x^2 + y^2 = z^2,
que é exatamente a equação de um cone com vértice na origem e aberto para z>=0. Como z=1+cos16t varia entre 0 e 2, estamos sobre a parte superior desse cone (a “nappe” de cima).

Passo 4

Para compreender a aparência, observe que a distância radial ao eixo z é
r(t)=raizx^2+y^2=1+cos16t,
que oscila entre 0 e 2 conforme t varia. O ângulo azimutal em torno do eixo z é simplesmente t, que vai de 0 a 2pi, descrevendo uma volta completa.
Além disso, cos16t completa 16 oscilações quando t vai de 0 a 2pi. Isso faz com que a curva comece no ponto (2,0,2), então aproxime-se do vértice do cone ( r=0,z=0), afaste-se, aproxime-se de novo, e assim por diante, num total de 16 “pétalas” ou “espiras” em formato de raio que tocam o vértice.

Resposta

A curva está contida na parte superior do cone
z^2 = x^2 + y^2,
e, ao percorrer t de 0 a 2pi, faz uma volta em torno do eixo z com 16 oscilações radiais, gerando 16 pétalas que tocam o vértice do cone.

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