Encontre os pontos de máximo e mínimo e os valores máximo e mínimo absolutos da função
no disco
(mostrar seus cálculos completos):
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos da função
no disco
O que vamos usar: (i) pontos críticos no interior via
e classificação pelo Hessiano; (ii) extremos no contorno
via multiplicadores de Lagrange; (iii) comparação dos valores de
.
Passo 2
Calculemos os pontos críticos no interior de
. Temos
Igualando a zero:
Verificamos que
está no interior pois
.
O Hessiano é
O Hessiano é
positivo definido, logo
é mínimo local.
O valor de aí é
O valor de
Passo 3
Agora os extremos no contorno
Caso A: . Na segunda:
Da restrição
vem
Denotemos esses dois pontos por
O valor de
em
é
Caso B:
. A restrição dá
, isto é
.
Em escolhemos
, em
, mas o que importa são os valores de
:
Em
Não há caso com
pois daí a segunda equação daria
, impossível.
Passo 4
Compilando os valores de
:
O menor valor é
em
.
O maior valor é nos dois pontos
.
O maior valor é
Resposta
O mínimo absoluto ocorre em
e vale
O máximo absoluto ocorre em
e
, valendo