Encontre os pontos de máximo e mínimo e os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x, y)=4 x^2+2 y^2-y no disco D=(x, y) mid x^2+y^2 <= 2 (mostrar seus cálculos completos):

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos da função
f(x,y)=4x^2+2y^2-y
no disco
D=(x,y)mid x^2+y^2<=2
O que vamos usar: (i) pontos críticos no interior via nabla f=0 e classificação pelo Hessiano; (ii) extremos no contorno x^2+y^2=2 via multiplicadores de Lagrange; (iii) comparação dos valores de f.

Passo 2

Calculemos os pontos críticos no interior de D. Temos
partial fpartial x=8x, partial fpartial y=4y-1
Igualando a zero:
8x=0 Rightarrow x=0, 4y-1=0 Rightarrow y=tfrac14
Verificamos que (0,tfrac14) está no interior pois
,0^2+(tfrac14)^2=1/16<2.
O Hessiano é
H f=8&00&4,
positivo definido, logo (0,tfrac14) é mínimo local.
O valor de f aí é
fl(0,tfrac14r) =4cdot0^2+2l(tfrac14r)^2-tfrac14 =2cdottfrac116-tfrac14 =tfrac216-tfrac416 =-tfrac18

Passo 3

Agora os extremos no contorno
Caso A: . Na segunda:
Da restrição vem
Denotemos esses dois pontos por
O valor de em é
Caso B: . A restrição dá , isto é .
Em escolhemos , em , mas o que importa são os valores de :
Não há caso com pois daí a segunda equação daria , impossível.

Passo 4

Compilando os valores de f:
&interior: f(0,tfrac14)=-tfrac18, &contorno: fl(Ppmr)=tfrac658approx8,125, f(0,raiz2)=4-raiz2approx2,586, f(0,-raiz2)=4+raiz2approx5,414
O menor valor é -tfrac18 em (0,tfrac14).
O maior valor é tfrac658 nos dois pontos Ppm.

Resposta

O mínimo absoluto ocorre em l(0,tfrac14r) e vale
fmin=-tfrac18
O máximo absoluto ocorre em
l(,tfracraiz314,-tfrac14r) e
l(-tfracraiz314,-tfrac14r), valendo
fmax=tfrac658

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