Encontre os pontos de máximos e os de mínimos absolutos para as funções das nos domínios dados.
f(x, y)=48 x y-32 x^3-24 y^2, D(f):l0 <= x <= 1 0 <= y <= 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos da função
f(x,y)=48xy-32x^3-24y^2
no domínio fechado e limitado
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1
Como f é polinomial (logo contínua) e D é compacto, os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos internos (onde nabla f=0) ou na fronteira de D.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para achar pontos críticos interiores:
partial fpartial x=48y-96x^2, partial fpartial y=48x-48y
Igualando a zero:
48y-96x^2=0implies y=2x^2, 48x-48y=0implies y=x
Daí x=2x^2 leva a x=0 ou x=tfrac12, com y=x. Logo os críticos internos são (0,0) e l(tfrac12,tfrac12r).

Passo 3

Avaliamo-os f nesses pontos:
f(0,0)=0, fl(tfrac12,tfrac12r) =48cdottfrac12cdottfrac12-32cdotl(tfrac12r)^3-24cdotl(tfrac12r)^2 =12-4-6=2

Passo 4

Analisamos as arestas x=0 e y=0:
1. Em x=0, yin[0,1]:
f(0,y)=-24y^2,
que tem máximo 0 em y=0 e mínimo -24 em y=1.
2. Em y=0, xin[0,1]:
f(x,0)=-32x^3,
cujo máximo é 0 em x=0 e mínimo -32 em x=1.

Passo 5

Agora as arestas x=1 e y=1:
1. Em x=1, yin[0,1]:
f(1,y)=-24y^2+48y-32
É uma parábola côncava para baixo com vértice em y=1.
Assim f(1,0)=-32, f(1,1)=-8, e não há outro extremo interno nesta aresta.
2. Em y=1, xin[0,1]:
f(x,1)=-32x^3+48x-24
Derivando em x: -96x^2+48=0 x=1/raiz2.
Avaliando:
fl(1/raiz2,1r) =-32l(1/raiz2r)^3+48l(1/raiz2r)-24 =16raiz2-24approx-1,37
Nos extremos da aresta temos também f(0,1)=-24 e f(1,1)=-8.

Passo 6

Reunindo todos os valores:
  • Pontos internos:
    (0,0)mapsto0, l(tfrac12,tfrac12r)mapsto2.
  • Arestas:
    (0,1)mapsto-24, (1,0)mapsto-32, (1,1)mapsto-8,
    l(1/raiz2,1r)mapsto16raiz2-24approx-1,37.
O maior valor é 2 em l(tfrac12,tfrac12r) e o menor é -32 em (1,0).

Resposta

Máximo absoluto em l(tfrac12,tfrac12r) com f=2.
Mínimo absoluto em (1,0) com f=-32.

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