Encontre os pontos de máximos e os de mínimos absolutos para as funções das nos domínios dados.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos da função
no domínio fechado e limitado
Como
f é polinomial (logo contínua) e
D é compacto, os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos internos (onde
nabla f=0 ) ou na fronteira de
D .
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais para achar pontos críticos interiores:
Igualando a zero:
Daí
x=2x^2 leva a
x=0 ou
x=tfrac12 , com
y=x . Logo os críticos internos são
(0,0) e
l(tfrac12,tfrac12r) .
Passo 3
Avaliamo-os
f nesses pontos:
Passo 4
Analisamos as arestas
x=0 e
y=0 :
que tem máximo
0 em
y=0 e mínimo
-24 em
y=1 .
cujo máximo é
0 em
x=0 e mínimo
-32 em
x=1 .
Passo 5
Agora as arestas
x=1 e
y=1 :
É uma parábola côncava para baixo com vértice em
y=1 .
Assimf(1,0)=-32 ,
f(1,1)=-8 , e não há outro extremo interno nesta aresta.
Assim
Derivando em
x :
-96x^2+48=0 dá
x=1/raiz2 .
Avaliando:
Avaliando:
Nos extremos da aresta temos também
f(0,1)=-24 e
f(1,1)=-8 .
Passo 6
Reunindo todos os valores:
- Pontos internos:
,(0,0)mapsto0 .l(tfrac12,tfrac12r)mapsto2 - Arestas:
,(0,1)mapsto-24 ,(1,0)mapsto-32 ,(1,1)mapsto-8
.l(1/raiz2,1r)mapsto16raiz2-24approx-1,37
O maior valor é
2 em
l(tfrac12,tfrac12r) e o menor é
-32 em
(1,0) .
Resposta
Máximo absoluto em
l(tfrac12,tfrac12r) com
f=2 .
Mínimo absoluto em(1,0) com
f=-32 .
Mínimo absoluto em